2.4.Пошук комплексних коренів нелінійних рівнянь

Схемні функції РЕА – це відношення полілінійних функцій комплексної частоти р = j  [8, 9, 10]. Загальний вигляд частотної характеристики РЕА визначається сукупністю нулів (коренів чисельника) та полюсів (коренів знаменника) схемної функції.

Нехай Р= аⁿр_n + a_n-1р ^n-1 + …+ a₁р + a₀ – поліном n-го степеня комплексної змінної р =  + j . Тоді якщо р = р_k = _k + j_k - не є коренем цього поліному, то останній в точці р матиме відмінні від нуля дійсну та уявну частини, які треба звести до нуля. Одним із найефективніших методів пошуку коренів функції комплексної змінної є метод Ньютона [8]. Чергове наближення до кореня на k-ій ітерації розраховується відповідно до матричного рівняння:

(k)	=	(k-1)	+		,
(k)		(k-1)		

де вектор прирощень визначається із системи рівнянь

Re(P)/	Re(P)/			= -	Re(P)	. (2.1)
Im(P)/	Im(P)/				Im(P)

Розрахунки закінчуються, коли  та  <   1.

Задача 2.4. Побудувати розрахунковий процес для пошуку кореня полінома Р= р² + р + 1,25.

Розв’язок. Нехай р_k =  + j - корінь поліному, що шукають. Тоді система (2.1) для заданого поліному:

2 +1	-2			= -	(2 - 2)+  +1,25	.
2	2 +1				(2+1)

Результати пошуку кореня полінома із точки р₀ = -0,4+ j0.9 наведені в таблиці.

K	(k-1)/(k-1)		Розширена матриця коефіціентів системи				 / 
			/d	/d	-Rе / -Im
1	-0.4	dRе/	0.2	-1.8	-0.2	3.2800	-0.11098
	0.9	dIm/	1.8	0.2	-0.18		0.09878
2	-0.51098	dRе/	-0.02195	-1.99756	-0.00256	3.9907	0.01099
	0.99878	dIm/	1.99756	-0.02195	0.02192		0.00116
3	-0.49999	dRе/	2.55E-05	-1.99988	-0.00012	3.9995	-1.3E-05
	0.99994	dIm/	1.99988	2.55E-05	-2.5E-05		5.97E-05
4	-0.5	dRе/	0	-2	0	4	0
	1	dIm/	2	0	0		0

Таким чином, корінь р₁ = -0,5+j1 поліному Р= р² + р + 1,25 з точністю =0,001 із точки (-0.4, 0.9) знайдено за 4 ітерації.

Текст програми Root_Newton_С, що реалізує пошук комплексного кореня полінома Р= р² + р + 1.25 методом Ньютона із точки р₀ = -0.7+ j0.7 та розв'язанням системи алгебраїчних рівнянь за правилом Крамера наведено нижче:

Program Root_Newton_С;{ пошук кореня методом дотичних }

uses CRT;

const e= 0.00001; { equrec }

k: integer= 1; { iterac }

var i, j: integer;

det, { determin }

sg, w, { root }

dsg, dw: real; { step }

A: array [1..2,1..3] of real; { work massyv}

Procedure Form_A;

Begin

A[1,1]:=2*sg+1; A[1,2]:=-2*w; A[1,3]:=-(sg*sg-w*w+sg+1.25);

A[2,1]:=2*w; A[2,2]:=A[1,1]; A[2,3]:=-w*2*sg+1)

End;

BEGin

ClrScr;

writeln(' metod Newtona for complex root');

sg:=-0.7; w:=0.7;

repeat

Form_A;

writeln('k=',k:2,' dsg=',dsg:7:4,' dw=',dw:7:4,

' sg=', sg:7:4,' w=', w:7:4);

for i:=1 to 2 do

begin for j:=1 to 3 do write(' ',A[i,j]:9:3);

writeln

end;

det:= A[1,1]*A[2,2]-A[1,2]*A[2,1];

dsg:=(A[1,3]*A[2,2]-A[1,2]*A[2,3])/det;

dw:= (A[1,1]*A[2,3]-A[1,3]*A[2,1])/det;

sg:=sg+dsg; w:=w+dw;

inc(k);

until sqrt(dsg*dsg+dw*dw)<e;

writeln; write('Press "Enter": ');

readln

END.

Результати пошуку комплексного кореня за допомогою згаданої програми наведені в таблиці.

k	(k-1)/(k-1)		Розширена матриця коефіціентів системи				 / w
			/d	/dw	-Rе / -Im
1	-0,7	dRе/	-0,400	-1,400	0,550	2,120	0,28868
	0,7	dIm/	1,400	-0,400	-0,280		0,31038
2	-0,4113	dRе/	0,177	-2,021	-0,013	4,115	-0,08744
	1,0104	dIm/	2,021	0,177	0,179		-0,01411
3	-0,4988	dRе/	0,002	-1,993	0,007	3,970	-0,00124
	0,9963	dIm/	1,993	0,002	0,002		0,00374
4	-0.5	dRе/	0,000	-2,000	0	4,000	0,00000
	1	dIm/	2,000	0,000	0		-0,00001

Таким чином, корінь р₁ = -0,5+j1 поліному Р= р² + р + 1,25 з точністю =0,00001 із початкової точки р= -0.7 + j 0.7 знайдено за 4 ітерації.