Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

КМСхКТ_мет_2012.doc

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2019

Размер:

1.81 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2221 22 > Следующая >>>

9.3.Метод Ейлера-Коші

П ідвищення точності розрахунків грунтується на використанні ітераційних формул:

,	(9.4)
,

що відповідає осередненню напрямку інтегрованої кривої в початковій (x_i, y_i) та в допоміжній (x_i₊₁, y*_i₊₁) точках підінтервалу. Методична похибка h³, бо метод неявно враховує похідні другого порядку.

Задача 9.4. Для задачі (9.1) розрахувати методом Ейлера-Коші значення у_k для t₀ = 0 з кроком h=0,1.

Розв'язок. Результати виконання 2 кроків аналізу вручну наведені в таблиці:

і=1;

t₁=0.1

у₁*= у₀+ hf(x₁, y₁) = 0+0,1(5-0)=0,5;

у₁= у₀+ h[f(x₁, y₁)+ f(x₂, y₂)]/2=0+0,1[(5-0)+(5-0.5)]/2=0.475;

і=2; t₂=0.2

у₂*= у₁+ hf(x₂, y₂) = 0.475+0.1(5-0.475)=0,9275;

у₂= у₁+ h[f(x₂, y₂)+ f(x₃, y₃)]/2=

=0.475+0,1[(5-0.475)+(5-0.9275)]/2= 0.9049;

Результати виконання 10 кроків аналізу на комп’ютері наведені в таблиці:

k	t_k	у_k-1	f(x_i-1, y_i-1)	у_k^*	f(x_i, y_i)	у_k	у_т	, %
1	0,1	0	5,0000	0,5000	4,5000	0,4750	0,4758	0,17
2	0,2	0,4750	4,5250	0,9275	4,0725	0,9049	0,9063	0,15
3	0,3	0,9049	4,0951	1,3144	3,6856	1,2939	1,2959	0,15
4	0,4	1,2939	3,7061	1,6645	3,3355	1,6460	1,6484	0,15
5	0,5	1,6460	3,3540	1,9814	3,0186	1,9646	1,9673	0,14
6	0,6	1,9646	3,0354	2,2682	2,7318	2,2530	2,2559	0,13
7	0,7	2,2530	2,7470	2,5277	2,4723	2,5139	2,5171	0,13
8	0,8	2,5139	2,4861	2,7626	2,2374	2,7501	2,7534	0,12
9	0,9	2,7501	2,2499	2,9751	2,0249	2,9639	2,9672	0,11
10	1,0	2,9639	2,0361	3,1675	1,8325	3,1573	3,1606	0,10

Порівняно з методом Ейлера похибка зменшилася на порядок.

9.4.Метод Рунге-Кутта

Метод Рунге-Кутта відноситься до однокрокових методів, де зважується замість диференціального рівняння нелінійне різницеве рівняння. Похибка метода складає h⁵. Нове значення функції розраховується за формулою

y_i=y_i-1+(k₁+2k₂+2k₃+k₄)/6,

(9.5)

де k₁= hf(x, y);

k₂= hf(x+h/2, y+k₁/2);

k₃= hf(x+h/2, y+k₂/2);

k₄= hf(x+h, y+k₃) - допоміжні коефіцієнти.

Задача 9.5. Методом Рунге-Кутта розв’язати рівняння f =у'=3х² для х 0, 10 з кроком інтегрування h =1 та у₀=0.

Розв'язок. На першому кроці k=1 і х₁=1:

k₁= hf(х₀, y₀) = 1(30²)=0;

k₂= hf(х₀+h/2, y₀+k₁/2)= 1(30.5²)=0.75;

k₃= hf(х₀+h/2, y₀+k₂/2)= 1(30.5²)=0.75;

k₄= hf(х₀+h, y+k₃) = 1(31²)=3;

y₁= 0+(0+20.75+20.75+3)/6= 1.

Результати розрахунку десяти значень первісної наведені в таблиці:

х	х_k-1	y_k-1	к₁	к₂	к₃	к₄	y_k	y_т = х³
1	0	0	0	0,75	0,75	3	1	1
2	1	1	3	6,75	6,75	12	8	8
3	2	8	12	18,75	18,75	27	27	27
4	3	27	27	36,75	36,75	48	64	64
5	4	64	48	60,75	60,75	75	125	125
6	5	125	75	90,75	90,75	108	216	216
7	6	216	108	126,75	126,75	147	343	343
8	7	343	147	168,75	168,75	192	512	512
9	8	512	192	216,75	216,75	243	729	729
10	9	729	243	270,75	270,75	300	1000	1000

Методична похибка відсутня завдяки відсутності похідних первісної функції п’ятого порядку і вище.

Задача 9.6. Для задачі (9.1) методом Рунге-Кутта розрахувати десять значень у_k для t₀ = 0 з кроком h=0,1.

Розв'язок. Таким чином: y’= f(x,y)= 5-y; y₀= 0; h= 0.1.

На першому кроці t₁=0.1:

k₁= h f(t₀, y₀)= 0.1(5-0)=0.5;

k₂= h f(t₀+h/2, y₀+k₁/2)= 0.1(5-0.25)=0.475;

k₃= h f(t₀+h/2, y₀+k₂/2)= 0.1(5-0.2375)=0.47625;

k₄= h f(t₀+h, y+k₃)= 0.1(5-0.47625)=0.452375;

y₁= 0+(0.5+20.475+20.47625+0.452375)/6= 0,475813.

Результати розрахунків для 10 кроків моделювання наведені в таблиці:

k	х	у_k-1	k₁	k₂	k₃	k₄	у_k	у_т
1	0,1	0,0000	0,50000	0,47500	0,476250	0,452375	0,47581	0,47581
2	0,2	0,4758	0,45242	0,42980	0,430929	0,409326	0,90635	0,90635
3	0,3	0,9063	0,40937	0,38890	0,389921	0,370373	1,29591	1,29591
4	0,4	1,2959	0,37041	0,35189	0,352815	0,335128	1,64840	1,64840
5	0,5	1,6484	0,33516	0,31840	0,319240	0,303236	1,96735	1,96735
6	0,6	1,9673	0,30327	0,28810	0,288860	0,274379	2,25594	2,25594
7	0,7	2,2559	0,27441	0,26069	0,261372	0,248269	2,51707	2,51707
8	0,8	2,5171	0,24829	0,23588	0,236499	0,224643	2,75335	2,75336
9	0,9	2,7534	0,22466	0,21343	0,213993	0,203265	2,96715	2,96715
10	1	2,9672	0,20328	0,19312	0,193629	0,183922	3,16060	3,16060

В результатах – шість вірних знаків.

Задача 9.7. Методом Ейлера розв’язати рівняння у'=2х для х 0, 10 з кроком інтегрування h =1 та у₀=0.

Розв'язок. Для k=1 та k=2:

k=1: х₁=1; у₁ = у₀+ hf(x₀, y₀) = 0+1(20) = 0;

k=2: х₂=2; у₂ = у₁+ hf(x₁, y₁) = 0+1(21) = 2.

Результати розрахунків для х 0, 10 наведені в таблиці.

k	х_k	у_k-1	dy	у_k	y_т= х²	_абс	_відн, %
1	1	0	0	0	1	1	100
2	2	0	2	2	4	2	50
3	3	2	4	6	9	3	33
4	4	6	6	12	16	4	25
5	5	12	8	20	25	5	20
6	6	20	10	30	36	6	17
7	7	30	12	42	49	7	14
8	8	42	14	56	64	8	13
9	9	56	16	72	81	9	11
10	10	72	18	90	100	10	10

Задача 9.7. Методом Ейлера-Коші розв’язати рівняння у'=2х для х 0, 10 з кроком інтегрування h =1 та у₀=0.

Розв'язок. Для k=1 та k=2:

k=1: х₁=1; у₁^* = у₀+ hf(x₀, y₀) = 0+1(20) = 0;

у₁ = у₀+ h[f(x₀, y₀)+ f(x₁, y₁^*)]/2 = 0+1[(20)+(21)]/2 = 1;

k=2: х₂=2; у₂^*= у₁+ hf(x₁, y₁) = 1+ 1(21) = 3;

у₂ = у₁+ h[f(x₁, y₁)+ f(x₂, y₂^*)]/2 = 1+1[(21)+(22)]/2 = 1+3 = 4.

Результати розрахунків для х 0, 10 наведені в таблиці.

k	x_k	у_k-1	dy	у_k*	у_k	y_т	_абс	_відн, %
1	1	0	0	0	1	1	0	0
2	2	1	2	3	4	4	0	0
3	3	4	4	8	9	9	0	0
4	4	9	6	15	16	16	0	0
5	5	16	8	24	25	25	0	0
6	6	25	10	35	36	36	0	0
7	7	36	12	48	49	49	0	0
8	8	49	14	63	64	64	0	0
9	9	64	16	80	81	81	0	0
10	10	81	18	99	100	100	0	0

Задача 9.8. Методом Ейлера-Коші розв’язати рівняння у'=3x^2 для х 0, 10 з кроком інтегрування h =1 та у₀=0.

Розв'язок. Результати розрахунків для х 0, 10 наведені в таблиці.

k	x_k	у_k-1	dy	у_k*	у_k	y_т	_абс	_відн, %
1	1	0,0	0	0,0	1,5	1	-0,5	-50,00
2	2	1,5	3	4,5	9,0	8	-1,0	-12,50
3	3	9,0	12	21,0	28,5	27	-1,5	-5,56
4	4	28,5	27	55,5	66,0	64	-2,0	-3,13
5	5	66,0	48	114,0	127,5	125	-2,5	-2,00
6	6	127,5	75	202,5	219,0	216	-3,0	-1,39
7	7	219,0	108	327,0	346,5	343	-3,5	-1,02
8	8	346,5	147	493,5	516,0	512	-4,0	-0,78
9	9	516,0	192	708,0	733,5	729	-4,5	-0,62
10	10	733,5	243	976,5	1005,0	1000	-5,0	-0,50

Похибки обумовлені наявністю похідної третього порядку.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2221 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.05.20152.12 Mб23кв4ua.docx
#
25.11.2019205.31 Кб10КЗ.doc
#
29.07.2019143.36 Кб1КИРИЛЕНКО.doc
#
12.05.2015508.68 Кб6Клиентский договор.pdf
#
19.11.2019745.98 Кб4Ключ _до_тест в_.doc
#
19.11.20191.81 Mб6КМСхКТ_мет_2012.doc
#
17.03.20167.7 Mб69книга для 1 курсу.doc
#
17.11.2019254.46 Кб2КНИГА Эти странные греки Фиaда Александра.doc
#
19.09.20191.14 Mб5Книжка.doc
#
17.03.201650.18 Кб4Коваленк3 лр.doc
#
12.05.201536.73 Кб5Кодекс соціолога.docx