3.1.2.Схема 3т чисельного диференціювання

Схема трьох точок (3Т-схема) [6] чисельного диференціювання використовує значення функції в трьох точках, що розташовані симетрично відносно початкової на відстані x, що забезпечує меньшу методичну похибку:

Тоді

(3.3)

Принципово складова ряду Тейлора з другою похідною функції не заважає - методична похибка 3Т-схеми обумовлена лише складовими з 3‑ою, 5-ою та більш старшими непарними похідними.

F3T:=(F(x+dx)-F(x-dx))/(2*dx); Writeln(' dx=',dx:10:6, ' F3T=', F3t:12:5);

Результати диференціювання функцію f = x³ у точці х =1 відповідно до 3Т-схеми наведені в таблиці:

x	fx 2T	Відносна похибка 2T, %	Fx 3T	Відносна похибка 3T, %
1.000000	7.00000	1.33333	4.00000	0.33333
0.100000	3.31000	0.10333	3.01000	0.00333
0.010000	3.03010	0.01003	3.00010	0.00003
0.001000	3.00300	0.00100	3.00000	0.00000
0.000100	3.00030	0.00010	3.00000	0.00000
0.000010	3.00003	0.00001	3.00000	-0.00000
0.000001	3.00000	0.00000	3.00000	0.00000

Якщо вібір x/х обмежений (таблиці значень функцій), то доцільно для великих прирощень x використовувати більш складні розрахункові схеми (наприклад, 5Т, 7Т тощо) або попередньо розв’язати задачу інтерполяції функції, що досліджується, і продиференціювати аналітично.

3.2.Розрахунок власних частинних похідних другого порядку

З розкладання функції в ряд Тейлора для позитивного та негативного прирощення аргумента випливає [6]:

Тоді

(3.4)

Задача 3.6. Продиференціювати функцію f = x³ у точці х =1 відповідно до схем 2Т та 3Т.

Розв’язок. Результати дослідження похибки диференціювання заданої функції для x = 1, 0.1, …, 0.000001 наведені в таблиці.

x	fx	Відносна похибка 1, %	f"xx	Відносна похибка 2, %
1.000000	4.00000	0.33333	6.00000	0.00000
0.100000	3.01000	0.00333	6.00000	0.00000
0.010000	3.00010	0.00003	6.00000	0.00000
0.001000	3.00000	0.00000	6.00000	0.00000
0.000100	3.00000	0.00000	5.99973	-0.00005
0.000010	3.00000	-0.00000	6.00000	-0.00000
0.000001	3.00000	0.00000	6.00009	0.00001

Принципово складова в ряді Тейлора з другою похідною відсутня і не заважає. Похибка обумовлена членами з 3-ою та старшими похідними.