8.2.2.Квадратична регресія

Квадратична регресія - це наближення (згладжування) експериментальних даних квадтичним тричленом

Частинні похідні зглажувальної функції . Тоді допоміжна система рівнянь набуває вигляду:

.

(8.6)

З додатковими до раніше введених позначеннями ; система рівнянь (8.6) має вигляд:

Розв’язання системи і дозволяє отримати коефіцієнти і побудувати згладжувальну функцію.

Задача 8.4. Побудувати згладжувальну функцію другого порядку для виміряних даних, що наведені в таблиці.

хi =	0	1	2	3	.
уi =	1	4	9	16

Розв’язок. Кількість змінних m=3, кількість експериментальних точок n =4.

Таким чином, допоміжна розширена система рівнянь для задачі має вигляд:

В результаті розвязання системи рівнянь а=1, b=2, с=1. Тоді згладжувальна функція буде мати вигляд Розрахунки похибки апроксимації наведені в таблиці.

хi =	0	1	2	3	.
уi =	1	4	9	16
	1	4	9	16
	0	0	0	0

Згладжувальна функція точно проходить через задані точки – всі чотири точки знаходяться на параболі.

9.Розв’язання звичайних диференційних рівнянь

Деякі наукові або інженерні задачі вимагають розв’язання диференціальних рівнянь. Найпростіші з них можна розв’язати аналітично. Однак більшість задач з диференціальними рівняннями може бути розв’язана лише чисельно.

9.1.Постановка задачі

Найпростішим звичайним диференційним рівнянням є рівняння 1-го порядку вигляду:

y’=f(x, y)

(9.1)

Задача Коші – знайти розв’язок рівняння (6.1) у вигляді функції y(x), що задовольняє початковій умові

y(xо)= yо

(9.2)

Геометрично це означає, що треба знайти інтегральну криву y=y(x), що проходить через задану точку М_о(x_о, y_о) при виконанні рівності (6.1).

Рис.9.1. До постановки задачі

Розроблено чимало способів знаходження аналітичного розв’язання диференційних рівнянь [7]. Але часто при розв’язанні практичних задач ці методи або зовсім безпомічні, або їх розв’язання пов’язане з неприпустимими витратами зусиль та часу. Тому в пригоді стають методи наближеного розв’язання диференційних рівнянь.

9.2.Метод Ейлера

Найпростішим методом чисельного розв’язання диференційного рівняння є метод ламаних Ейлера. Нехай дано рівняння (9.1) з початковими умовами (9.2). Вибравши достатньо малий крок h, будують , починаючи з точки х_о, систему рівновіддалених точок х_і = х_о+kh (k=0, 1, 2, …). Замість інтегральної кривої, що шукають на відрізку [x₀, x₁], розглядають відрізок дотичної L₁ до неї в точці М_о(х_о, у_о) із рівняння y=y₀+f(x₀, y₀)(x-x₀). Аналогічно проводячи дотичну L₂ до деякої інтегральної кривої в точці М₁(х₁, у₁), отримують y=y₁+f(x₁, y₁)(x-x₂), і т.д.

Таким чином, ітераційні формули для розрахунку аргументу і функції для k-ої ітерації (k = 1, 2, 3, ...) мають вигляд:

хk = х0 + kh; у k  уk-1 + hу' = уk-1 + 0.1(5- уk-1).

(9.3)

Задача 9.1. Методом Ейлера розв’язати рівняння у' = (5 - у) з початковим значенням змінної х₀=0 і кроком інтегрування h =0,1.

Розв’язок. У відповідності до (9.3) для k=1 та k=2:

k=1: х₁=0.1; у₁ = у₀ + hf(x₀, y₀) = 0+0,1(5-0)=0,5;

k=2: х₂=0.2; у₂ = у₁ + hf(x₁, y₁) = 0.5+0.1(5-0.5)=0,95; …

Декілька кроків розвязання задачі наведено у таблиці:

k	хk	уk-1	0.1(5- уk-1)	уk	yт	, %
1	0,1	0	0,5	0,5	0,4758	5,04
2	0,2	0,5	0,45	0,95	0,9063	4,85
3	0,3	0,95	0,405	1,355	1,2959	4,55
…	…	…	…	…	…	…
8	0,8	2,609	0,2391	2,848	2,7534	3,45
9	0,9	2,848	0,2152	3,063	2,9672	3,24
10	1,0	3,063	0,1937	3,257	3,1606	3,04

Точне значення у_т функції отримано із аналітичного розвязку у = 5(1‑е^-t) згаданого диференційного рівняння.

М етод Ейлера забезпечує порівняно невисоку точність [5] розрахунку (h₂), до того ж, у загальному випадку похибка кожного нового кроку систематично накопичується. Для оцінки похибки в цьому випадку широко використовується спосіб подвійного розрахунку – з кроком h та h/2. Співпадіння старших десяткових знаків в результатах, отриманих цими двома способами, дає грунт вважати їх вірними.

Задача 9.2. Для попередньої задачі розрахувати значення у_k для t_k = 0,1 з кроком h=0,05.

Розв'язок. Результати розрахунків наведені в таблиці:

k	tk	уk-1	0.05(5- уk-1)	уk	ут	, %
1	0,05	0	0,25	0,25	0,244	2,46
2	0,1	0,25	0,2375	0,4875	0,476	2,42

Похибка _0,05 для кроку 0,05 і t_k = 0,1 зменшилася вдвоє порівняно з порхибкою _0,1 для кроку 0,1. Ці результати відрізняються на 2,5%, що співвимірно з похибками _0,1 та _0,05.

Задача 9.3. Для задачі (4.1) розрахувати методом Ейлера два значення у_k для t_k = 0,05 з кроком h=0,025.

Розв'язок. Результати розрахунків наведені в таблиці:

k	tk	уk-1	0.025(5- уk-1)	уk	ут	, %
1	0,025	0	0,125	0,125	0,1235	1,21
2	0,050	0,125	0,121875	0,247	0,244	1,23

Похибка _0,025 для кроку 0,025 і t_k = 0,05 зменьшилася вдвоє порівняно з похибкою _0,05 для кроку 0,05. Ці результати відрізняються на 1,2%, що співвимірно з похибками _0,025 та _0,05.