§ 12. Поле сил. Консервативные силы. Потенциальная

энергия и работа консервативной силы.

Потенциальная энергия в поле сил тяжести,

потенциальная энергия упругой деформации

Если на частицу в каждой точке пространства действуют силы, то

частица находится в поле сил. Например, вблизи поверхности Земли ча-

стица находится в поле сил тяжести - в каждой точке на нее действует

сила mg . Если есть система зарядов, то на любой другой заряд (например

q₀ ) в любой точке будет действовать силы кулоновского взаимодействия:

заряд q₀ находится в поле электростатических сил.

Силы, работа которых не зависит от

формы траектории, а зависит от начального и

конечного положения тела, называются кон-

сервативными (рис. 12.1а):

A_l1 = A_{l 2} = A_l3 = K = A для любого пу-

ти из “1” в “2”.

На рис.12.1б показана замкнутая тра-

Рис.12.1 ектория. В точку “1” можно попасть, пройдя

траекторию «l», а можно не “выходя” из точ-

ки “1”. Во втором случае A = 0 (т.к. перемещение равно 0). Поскольку для

консервативной силы, работа не зависит от пути, то и работа на замкну-

42

том пути «l» тоже равна 0. Таким образом, работа консервативной силы

по замкнутой траектории равна 0. Работа силы по траектории «l» равна

(уравнение (10.4)):

A = ∫ F_ldl , (10.4а)

_{r r}

где F_l - проекция силы F на перемещение dl . Если надо в (10.4а) ука-

зать, что траектория замкнутая, то интеграл записывается так:

F_ldl

l

Такой интеграл называется “циркуляцией”.

Т.к. работа по замкнутой траектории равна нулю, то из (10.4а)

получим для консервативной силы

F_l d l = 0 - для консервативной силы.

l

Следовательно, можно сказать: циркуляция консервативной силы по за-

мкнутой траектории равна нулю.

Силовое поле, силы которого консервативны, называется потен-

циальным. Поскольку, работа в таком поле не зависит формы траектории,

она должна зависеть от состояния системы в начальном и конечном по-

ложении. Физическая величина, зависящая от положения системы в поле

консервативных сил и определяющая работу этих сил, называется потен-

циальной энергией ( ). В этом случае работа равна:

A = E_п,I - E_п,II = -DE_п . (12.1)

Работа консервативной силы равна убыли потенциальной энергии.

Покажем, что сила тяжести - консервативная сила и найдем по-

тенциальную энергию в поле сил тяжести. Для этого надо показать, что

работа этой силы не зависит от пути.

Рассмотрим движение тела из точки I в точку II (рис.12.1) по не-

которой, произвольной, траектории.

dA = mgdl = mgdlcos α

Из рис.12.1 видно:

¢ ¢¢ ¢¢ ¢

h₂

dA = -mgdy; A = - ∫ mgdy = -mgy =mgh₁ - mgh₂ ⇒

. (12.2)

43

рис.12.1

Из (12.2) видно, что работа силы mg не зависит от пути: в урав-

нение (12.2) входят только величины h₁ и h₂ , определяющие начальное и

конечное положение частицы. (Из вывода очевидно, что для любой дру-

гой траектории, начинающейся в точке I и заканчивающейся в точке II -

результат не изменился бы). Сравнивая (12.2) и (12.1) находим, что по-

тенциальная энергия в поле сил тяжести равна:

E_п=mgh - при действии силы тяжести (12.3),

где h - расстояние от нулевого уровня отсчета высоты до частицы или

центра тяжести тела. Нулевой уровень может быть выбран произвольно,

но для всех тел системы один и тот же.

Консервативной силой является также сила упругости. Найдем

работу этой силы на примере пружины (рис.12.2). На точку A действует

сила упругости, модуль которой равен

F_уп = kx

Пусть в результате действия этой силы

частица переместилась на dl . Т.к.

dl ® 0 , то можно считать, что сила F_уп

не изменилась на перемещение dl

_{r r r}

dA = F_упdl = F_уп dl cos 0 ;

Рис.12.2

44

dl = x - x = -dx ; dA = -kxdx :

kx₁ kx₂

2 2

Сравнивая с (12.1) находим, что потенциальная энергия упругой дефор-

мации равна:

(12.5)