§ 18. Скорость и ускорение при гармонических

колебаниях. Энергия гармонических колебаний

Проекция скорости u_x колеблющейся вдоль оси «х» частицы

равна:

(18.1)

Для рассматриваемого случая | u_x |=| u |, где u - скорость движения ча-

стицы. Подставим (17.7) в (18.1):

u_x = [Acos(ω₀t + α)]⇒ v_x = -Aω₀ sin(ω₀t + α)

Обозначим (18.2)

_Тогда: -u_m sin(w₀t + a )

где u_m - амплитуда скорости. Видно, что скорость, так же как и x, меня-

ется по гармоническому закону. Т.к.

- sin(w₀t + a ) = cos(w₀t + a + p 2)

то из (18.3) следует:

u_x = -u_m sin(w₀t +a) =u_m cos(w₀t +a +p 2) (18.3а)

Из сравнения (18.3а) и (17.7) видно, что разность фаз между x и u_x (дру-

гими словами - сдвиг фаз) равна p/2. В тех точках, где х =0 (т.е. для кото-

рых ) u_х =u_m

Проекция ускорения а_х равна (|a_x|=|a|):

a_x = ⇒ a_x = [-u_m sin(ω₀t + α)]⇒ a_x = -u_mω₀ cos(ω₀t + α)

Обозначим (18.4)

_Тогда: -a_m cos(w₀t + a )

0

56

тим, что подстановка уравнений (18.5) и (17.7) в уравнение (17.6) с уче-

том (18.4) дает тождество - это означает, что (17.7) есть решение (17.6).

В § 17 было показано, что незатухающие собственные гармони-

ческие колебания возникают при действии квазиупругой силы. Так же как

и сила упругости - это консервативная сила. Так как других сил нет, то в

рассматриваемом случае должен выполняться закон сохранения механи-

ческой энергии (§ 15). Найдем кинетическую и потенциальную энергию

гармонического колебания:

E_к = mu² 2 ; E_п = k x² 2

Подставим в первое из этих выражений уравнение(18.3), во второе - (17.7)

(для краткости будем вместо w₀t+a; писать j).

2

E_k = ; E_п = (18.6)

Подставим u_m=Aw₀ и найдем механическую энергию:

mA²ω₀ sin² j kA² cos² j

2 2

2

kA² kA²

С учетом (18.7) и (18.2) получим:

2 2

(18.8)

Видно, что механическая энергия гармонических колебаний не зависит от

времени, т.е. остается постоянной. Ее можно найти либо как максималь-

ную потенциальную энергию (т.е. энергию при |x|=A; в этих точках E_к =

0), либо как максимальную кинетическую энергию (т.е. энергию в точке х

=0, где |u|=u_m, а Е_п=0).

§ 19. Сложение одинаково направленных колебаний

Гармонические колебания часто удобно представить в виде век-

торной диаграммы (рис.19.1а). Возьмем вектор, модуль которого равен А;

вектор расположен под углом a к оси х. Представим, что этот вектор

вращается вокруг оси, проходящей через точку “О” с угловой скоростью

w. За время t он повернется на угол wt.

57

а) б)

Рис.19.1

Угол j между вектором и осью х будет определяться соотношением:

j=wt+a,

а проекция вектора А на ось х будет равна:

x=Acosj=Acos(wt+a)

Таким образом, проекция вектора А на ось х совершает гармоническое

колебание.

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинаково-

го направления и одинаковой частоты. Смещение х колеблющегося тела

будет суммой смещения x₁ и x₂, уравнения которых имеют вид:

x₁=A₁cos(wt+a₁); x₂=A₂cos(wt+a₂) (19.1)

Представим оба колебания в виде векторной диаграммы (рис19.1б). Оче-

видно, результирующий вектор А будет тоже вращаться с угловой скоро-

стью w, а его проекция х равна:

x=x₁+x₂

Следовательно, результирующее колебание тоже гармоническое и имеет

частоту w, амплитуда этого колебания равна модулю вектора А , а

начальная фаза - a (рис.19.1б):

x=Acosj=Acos(wt+a)

Найдем амплитуду А и начальную фазу a . Из рис 19.1б видно

A² = A₁ + A² - 2A₁A₂cos[π - (α₂ - α₁)]⇒

(19.2)

tgα = = ⇒

A₁sinα + A₂sinα₂

(19.3)

A₁cosα₁ + A₂cosα₂