Глава 3. Работа. Энергия

§ 10. Работа. Работа при вращательном движении. Мощ-

ность

_r

Пусть к частице, массой m, приложена сила F_r, ча-

стица за время dt совершила перемещение d r . В

дальнейшем, вместо d r будем использовать обо-

значение dl ;(dl º dr).

Определение работы:

_{r r}

dA = Fdl

работа равна скалярному произведению силы на перемещение.

Из свойств скалярного произведения следует

dA = Fdlcosa = F_ldl , (10.2)

Где F_l - проекция F на направление перемещения dl , a - угол между

векторами F и dl .

Из (10.2) ⇒

[A] = Нм = Дж (джоуль).

(Обратите внимание: т.к. dl величина ® 0, то можно считать, что на пе-

ремещении dl сила F = const).

Для того чтобы найти работу на всем пути надо весь путь разде-

лить на малые участки, найти работу на каждом из них, а затем результат

просуммировать. Таким образом, определение работы на всем пути сво-

дится к интегрированию (10.1) или (10.2)

∫ dA = ∫ Fdl = ∫ Fdl cosa = ∫ F_ldl . (10.3)

l l l l

Индекс «ℓ» в (10.3) означает, что суммирование (т.е. интегрирование)

проводится вдоль траектории обозначенной «ℓ». Интеграл слева в (10.3)

равен

∫ dA = A

l

∫ dA ¹ A₂ - A₁^{, т.к. работа в точке 2 и точке 1 смысла}

l

не имеет). Таким образом

(10.4)

l l

37

(в (10.4) написаны не все, а наиболее употребимые выражения для рабо-

ты). Сила в уравнении (10.4) может быть как одна из действующих на те-

ло сил (т.е. найдем работу этой силы) так и результирующая нескольких

сил (т.е. получим работу результирующей силы).

Пример: работа постоянной силы, частица двигается прямоли-

нейно: = const =>

A = ∫ F cosadl = F cosa ∫ dl = Flcosa

l l

Найдем работу при вращательном движении твердого тела вокруг

оси, не меняющей своей ориентации в пространстве. На рис. 10.2 показана

некоторая частица твердого тела, масса частицы m_i, за время dt частица

поворачивается на угол dj, который обозначим a: djºa. Работа совер-

шаемая над частицей равна:

dA_i=F_icosadS_i

F_i cosa = F_{t ,i} ⇒ dA_i = F_{t ,i}dl_i ; _{dli = Ridj} ⇒ dA_i = F _{t ,i}R_idj

Множитель перед dj есть момент силы N_z,i (уравнение (8.9)):

dA_i=N_Z,idj (10.5)

Складывая работу, со-

вершаемую над каждой

из частиц, получим ра-

боту, совершаемую при

вращательном движении

тела

dA = ⇒

dA = dj N_{Z ,i} (10.6)

Сумма в правой части

(10.6) есть суммарный

момент внешних сил

∑

(10.7)

Работа, совершаемая при повороте тела на угол Dj, определяется инте-

грированием уравнения (10.7):

Dj

(10.8).

0

38

Мощность Р - это работа совершаемая в единицу времени:

dA

(10.9)

dt

Р=Дж/с=Вт (Ватт)

Подставим в (10.9) уравнение (10.1):

P = ;

С учетом (2.1), получим:

P = Fu (10.10)

Для вращательного движения из формул (10.7) и (10.9) следует, что

P=N_Zw

Работа и кинетическая энергия. Кинетическая

энергия при вращательном движении

Рассмотрим тело, центр инерции

которого (точка “O”) в начальном поло-

жении (I) имеет скорость u₁, в конечном

(II) – u₂; центр инерции двигается по тра-

ектории «l»(рис.11.1); тело вращается

вокруг некоторой оси; направление оси в

пространстве не меняется.

Найдем работу, которая совер-

шается при таком движении. Движение

центра инерции описывается вторым

законом Ньютона (§7).

_r

F = ma ,

Работа при поступательном движении А_п результирующей силы F равна

(уравнение(10.4)):

A_п = ∫ Fdl _(11.2)

l

Вращательное движение описывается законом динамики враща-

тельного движения (уравнение(9.16)):

N_Z = I_Z b (11.3)

39

Работу при вращении А_вр найдем из выражения (10.8):

∆j

A_вр = ∫ N_Zdj , (11.4)

0

Работа A всех сил будет равна:

Dj

A = A_п + A_вр = ∫ Fdl + ∫ N_Zdj , (11.5)

l 0

Подставим в (11.5) уравнения (11.1) и (11.3):

Dj

A = ∫ madl + ∫ I bdj . (11.6)

l 0

Т.к. a = , b = , то:

Dj

A = ∫ mdu + ∫ I_Zdw . (11.7)

l 0

Учтем, что u = ;

Следовательно:

A = ∫ mυdυ + ∫ I_Zωdω (11.8)

В уравнение (11.8) учтено: в первом интеграле переменная - это u , по-

этому пределы надо брать для этой переменной (в начале пути u₁,

в конце – u₂); аналогично для второго интеграла – переменная w

(в начале пути w₁, в конце -w₂). Постоянные m и I_z - вынесем за знак

∫ . Тогда

r r u r₂

2

udu = d( ) ; wdw = d( ) (11.9)

С учетом (11.9), получим:

A = + I_Z ⇒

u₁ w₁

40

mu₂ mu₁ I_Zw₂ I_Zw₁

2 2 2 2

или

mu₂ I_Zw₂ mu₁ I_Zw₁

2 2 2 2

Величина

E_к = + (11.11)

называется кинетической энергией. Первое слагаемое

E_к.п = (11.11а)

называется кинетической энергией поступательного движения и связано

со скоростью центра инерции. Второе слагаемое

E_к.в = (11.11б)

называется кинетической энергией вращательного движения. Следова-

тельно:

A = E_к,II - E_к,I = DE_{к , (11.12)}

- работа всех сил, действующих на тело, равна приращению (изменению)

кинетической энергии.

Если тело не вращается (т.е. двигается только поступательно), то

mu₂ mu₁

2 2

I_zw₂ I_zw₁

2 2

Пример: колесо катится со скоростью u

(рис.11.2). В этом случае колесо еще и вращается

относительно оси, проходящей через центр тяжести

колеса (точка “O”):

mu² I_zw²

2 2

Найдем связь w и u. Пусть центр колеса прошел путь l, равный длине

окружности колеса l = 2pR. Время этого движения t равно t = l/u. За

41

это время каждая точка колеса (например, точка “A”) совершила полный

оборот, т.е. повернулась относительно оси вращения на угол 2p

w = = u = u =

mu² I_z u

2 2 R

Момент инерции колеса (обруч) относительно оси, проходящей через его

центр (точку “O”) и перпендикулярной плоскости колеса, равен

I_z = mR² . Таким образом

E_к = + ⇒ E_к = mu²