§ 13 Связь между консервативной силой

и потенциальной энергией

Найдем связь между консервативной силой и потенциальной

энергией на примере силы тяжести и силы упругости.

Потенциальная энергия части в поле сил тяжести определяется

выражением (12.3). Если частица находится в точке с координатой у (рис.

12.1), то в формуле (12.3) высоту h надо заменить на y. Тогда получим:

E_п = mgy ⇒ = mg

Из рис.12.1: mg_y = -mg . Сравнивая два последних уравнения, находим

mg_y = - . (13.1)

Для силы упругости:

E_п = =>

Из рис. (12.2): ⇒

F_уп,x = - (13.2)

Соотношения типа (13.1),(13.2) справедливы для консервативной

силы и в общем случае:

¶E_п

, (13.3)

¶l

_r

где F_l - проекция вектора консервативной силы F на направление оси,

обозначенной индексом «l ».

Выберем направления, совпадающие с координатными осями «x»,

«y», «z». Тогда из (13.3) получим:

¶ E_п ¶ E_п ¶ E_п

- _; - _; - _{. (13.4)}

r

r r r

_r

F = - e_x - e_y - e_z . (13.6)

Если имеется некоторая скалярная функция f(x,y,z), то выраже-

ние

¶ f ¶ f ¶ f

- e_x - e_y - e_z

¶ x ¶ y ¶ z

является вектором. Этот вектор называется градиентом функции f и обо-

значается символом

grad f либо Ñf

( Ñ называется оператором “набла”, Ñf читается: "набла эф” или “гра-

диент эф”).

Таким образом, соотношение (13.6) можно записать в виде:

. (13.7)

Вектор консервативной силы равен градиенту потенциальной энергии,

взятому с противоположным знаком. (Фактически уравнение (13.7) -

сокращенная запись уравнения (13.6)).

Градиент функции Ñf - это вектор, направленный в сторону

быстрейшего возрастания функции f. Знак «-» в уравнении (13.7) показы-

вает, что консервативная сила направлена в сторону быстрейшего убыва-

ния потенциальной энергии. Например, в поле сил тяжести потенциальная

46

энергия убывает с уменьшением высоты, в этом же направлении (т.е.

«вниз») направлен вектор силы тяжести.

§14. Работа неконсервативных сил и механическая

энергия

В общем случае на систему тел действуют кроме консервативных

сил и другие силы, которые в дальнейшем будем называть неконсерва-

тивными. Работа всех сил А, действующих на систему, равна сумме работ

консервативных сил А_к и сил неконсервативных А_нк:

А = А_к + А_нк (14.1)

Тогда:

А_нк = А - А_к (14.2)

Работа всех сил определяется соотношением (11.12), а работа консерватив-

ных сил - соотношением (12.1). Подставим эти уравнения в (14.2):

А_нк = (E_к,II - E_к,I) - (E_п,I - E_п,II) =>

Величина

E = E_к + E_п (14.3)

называется механической энергией (или полной механической энергией).

Следовательно, работа неконсервативных сил равна приращению (изме-

нению) механической энергии системы:

А_нк =Е_I – Е_II =∆E (14.4)

47

Глава 4. Законы сохранения в механике

§15. Закон сохранения импульса. Закон сохранения

момента импульса. Закон сохранения механической

энергии

I. Для системы частиц (или системы твёрдых тел) второй закон

Ньютона можно записать в виде (§7, уравнение (7.1))

d

= , (15.1)

dt

_{r r}

где F_вн,i - сумма внешних сил, действующих на тело; P_i - импульс

системы; P_i - импульс i-ого тела.

Если отсутствуют внешние силы, действующие на систему, то си-

стема называется замкнутой. Для такой системы

=0 (15.2)

Из (15.2) и (15.1) получим для замкнутой системы

= 0 ⇒

=_{const (15.3)}

Т.е. сумма импульсов тел в замкнутой системе не меняется. Это

есть закон сохранения импульса.

Очевидно, что если внешние силы не равны нулю, но их сумма

равна нулю (уравнение (15.2)), то и в этом случае выполняется соотноше-

ние (15.3). Таким образом, в замкнутой системе, а также в системе, в ко-

торой F_вн,i = 0 , выполняется закон сохранения импульса.

Из сказанного выше можно сделать два вывода:

1. Т.к. в замкнутой системе F_вн,i = 0 , то в такой системе ско-

рость тел (импульс) меняется только вследствие действия внутренних сил.

Практически большинство систем не замкнуты, но если в системе скоро-

сти тел меняются в основном вследствие действия внутренних сил, то

такую систему с достаточной степенью точности можно считать замкну-

той.

2. В §7 показано, что

= ,

48

где m - суммарная масса тел системы; u_C - скорость центра инерции.

Из (15.3) и последнего уравнения получим, что в замкнутой си-

стеме

u const

Т.е. в замкнутой системе скорость центра инерции системы постоянна.

Запишем проекцию уравнения (15.1) на некоторую ось «Z»:

= ( P_{i, Z} )

dt

Если ∑F_вн,Z=0 , то (аналогично (15.3)) получим:

∑ (15.3a)

В этом случае не меняется сумма проекций импульсов тел на ту

ось, для которой сумма проекций внешних сил равна нулю.

II. Правило моментов для системы тел, вращающихся вокруг оси,

не меняющей своего направления в пространстве, имеет вид

(§9, уравнение (9.6)):

= ( )^{, (15.4)}

dt

где ∑N_вн,Z - суммарный момент внешних сил относительно оси враще-

ния, ∑L_i,Z - суммарный момент импульсов тел относительно оси вра-

щения.

Если

∑N_вн,Z =0 (15.5)

то из (15.4) , аналогично (15.3), получим:

∑L_i,Z =const (15.6)

Таким образом, если выполняется (15.5), то выполняется закон

сохранения момента импульса относительно оси вращения.

( Уравнение (15.6) - частный случай векторного закона сохране-

ния момента импульса в замкнутой системе. Уравнение (15.6) аналогично

уравнению (15.3а), но записано для вращательного движения относитель-

но оси «Z».)

III. Работа неконсервативных сил равна (§14, уравнение (14.4)):

А_нк=∆Е (15.7)

Если на систему действуют только консервативные силы, то

А_нк=0 (15.8)

49

Из (15.7) и (15.8) следует:

∆Е=0 ⇒ E=const ⇒

∑E_i=const (15.9)

Таким образом, в системе, в которой действуют только консерва-

тивные силы (т.е. нет неконсервативных сил или их работа равна нулю)

выполняется закон сохранения механической энергии.

Закон сохранения механической энергии - это частный случай

общего закона сохранения энергии, который гласит: энергия не возникает

и не исчезает, а переходит из одного вида в другой.

Рассмотренные законы сохранения являются следствием свойств

пространства. Законы сохранения - одни из фундаментальных законов

природы.

Пример. Соударение двух тел.

Выполняется закон сохране-

ния импульса, т.к. в этом случае ско-

рость тел меняется в основном вслед-

ствие действия внутренних сил.

а) Неупругий удар - скорость тел

после удара одинаковая (рис. 15.1);

механическая энергия после удара

уменьшается т.к. часть её идет на де-

формацию тел - т.е. не выполняется

закон сохранения механической энер-

гии.

б) Упругий удар - скорость тел по-

сле удара разная (рис. 15.2); выполня-

ется закон сохранения механиче-

ской энергии. Если положения центров тяжести тел после удара не меня-

ются, то остается постоянной и потенциальная энергия. Следовательно, в

этом случае, закон сохранения механической энергии означает, что кине-

тической энергии тел до и после удара не меняется.