§ 20. Маятники. Пружинный, физический,

математический маятники

Пружинный маятник - это твердое тело, соединенное с пружиной

и совершающее колебания в результате действия силы упругости. Оче-

видно, что действие силы упругости аналогично действию квазиупругой

силы, рассмотренной в § 17. Следовательно, пружинный маятник совер-

шает гармонические колебания с циклической частотой w₀, равной (урав-

нение (17.5)):

, (20.1)

где k – жесткость пружины.

Физический маятник - это твердое тело, совершающее колебания

под действием силы тяжести вокруг неподвижной оси, не проходящей

через центр масс

(рис.20.1). В поло-

жении равновесия

линия, соединяю-

щая ось вращения и

центр тяжести, рас-

положена верти-

кально. При коле-

баниях все точки

маятника и эта ли-

ния будет откло-

няться от положе-

Рис.20.1 ния равновесия на

некоторый угол j.

59

При этом возникает момент силы, который стремиться вернуть маятник в

положение равновесия.

N_z = Fd ⇒ F = mg ; d = l × sinj ,

где m - масса маятника, d - плечо силы, l - расстояние от оси до центра

тяжести (точка “с”). Таким образом:

N_z = -mg ×l×sinj . (20.2)

Знак “-” связан с тем, что отклонение маятника происходит в одну сторо-

ну (на рис. “против часовой стрелки”), а момент силы вращает в противо-

положную сторону (на рис. “по часовой стрелке”).

Запишем закон динамики вращательного движения

N_Z = I_Z β = I_Zj ⇒-mg×l×sinj = I_Zj

Для малых углов отклонения (j < 0,1 рад.), т.е. для малых колебаний

sinj » j , следовательно:

- mg ×l×j = I_zj ⇒ j + j = 0

Обозначим ω₀ = , (20.3)

тогда j + ω₀j = 0 , (20.4)

т.е. получим дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

Следовательно, маятник совершает гармонические колебания

j = j_m cos(w₀t +a) ,

с амплитудой колебаний j_m , циклической частотой w_0, периодом коле-

баний Т:

I_z

, (20.5)

mgl

где I_z – момент инерции относительно оси вращения.

Математический маятник представляет собой невесомую и нерас-

тяжимую нить, на которой подвешена материальная точка. Его можно

рассматривать как частный случай физического маятника. Для матери-

альной точки

I_z = ml² ,

60

где в случае математического маятника l - длина нити. Следовательно,

для такого маятника получим:

mgl

ml²

_l

(20.6).

g

§ 21. Затухающие колебания.

Логарифмический декремент затухания

Рассмотрим колебания, при которых кроме квазиупругой силы

F_уп, действует и сила трения F_тр (сопротивления). Во многих, практиче-

ски важных случаях, действует сила вязкого трения, которая при неболь-

ших скоростях колебаний равна (§ 5):

F_тр = -ru

где r - коэффициент сопротивления. Для одномерного колебания вдоль

оси “х”, проекция второго закона Ньютона на эту ось будет иметь следу-

ющий вид:

F_уп + F_тр = ma ⇒ - kx - ru = ma ; u = x ; a_x = x ⇒

- kx - rx = mx ⇒ x + x + x = 0

Обозначим:

k r

, (21.1)

m m

где b - называется коэффициентом затухания. Тогда

. (21.2)

Полученное уравнение есть дифференциальное уравнение затухающих

колебаний. В этом уравнении w₀ - циклическая частота, которую имела

бы система в отсутствии сил трения. Ее называют собственной частотой.

Для затухающих колебаний маятника получится аналогичное

уравнение. В этом случае в уравнение динамики вращательного движения

маятника N_Z = I_Zj (§20) надо добавить момент силы трения N_тр=-rw:

61

N_Z + N_тр = I_Zj . Обозначив 2b=r/I_Z для угла отклонения j (рис.20.1)

получим:

j + 2βj +w₀j = 0

Решение дифференциального уравнения затухающих колебаний

(21.2) необходимо рассмотреть для двух случаев.

1. b<w₀

Прямой подстановкой можно убедиться, что в этом случае реше-

ние имеет вид:

, (21.3)

, (21.4)

где А₀ и a постоянные.

Уравнение (21.3) - кинематическое уравнение затухающих коле-

баний; w (уравнение(21.4)) - циклическая частота затухающих колебаний.

Из (21.3) видно, что амплитуда А затухающих колебаний равна

. (21.5)

График амплитуды показан на рис.(21.1),

а график затухающих колебаний на

рис.(21.2). Колебания со временем по-

степенно прекращаются т.к. механиче-

ская энергия вследствие действия сил

трения переходит во внутреннюю энер-

гию (выделяется в виде тепла). Скорость

затухания определяется величиной b. За

время t равное t=1/b амплитуда коле-

баний уменьшается в “e” раз:

- β

A(t ) = A₀e^{- βt} = A₀e = .

Следовательно, коэффициент затухания

обратен промежутку времени, за кото-

рый амплитуда уменьшается в е раз. Чем

больше b, тем быстрее уменьшается ам-

плитуда колебаний.

Отношение амплитуд, соответ-

ствующих моментам времени, отлича-

ющихся на период, называется декре-

62

ментом затухания, а логарифм этой величины называется логарифмиче-

ским декрементом затухания l :

λ =ln =ln ⇒λ =ln =lne^β×T ⇒

A(t+T) A₀e^-β(t+T) e^-β×t ×e^-β×T

T l=b. (21.3)

Уравнение (21.3) выражает связь между величинами l, b и Т

- λ

Из (21.3) следует: β = ; A(t) = A₀e^{- βt} = A₀e .

II. b³w₀. В этом случае сила трения настолько

большая, что процесс носит непериодический

(апериодический) характер. В зависимости от

начальных условий (начального отклонения,

начальной скорости, ее направления) зависи-

мость х(t) будет иметь вид, представленный на

рис. 21.3 кривой 1 или 2.

Рис.21.3