Глава 5. Колебания. Волны

§ 17. Колебания. Дифференциальное уравнение

гармонических колебаний. Кинематическое уравнение

гармонического колебания. Амплитуда, фаза, частота,

период колебаний

Колебаниями называются процессы, отличающиеся определенной

степенью повторяемости (например: качание маятника, колебания стру-

ны, изменение тока в колебательном контуре и т.п.).

Свободными или собственными колебаниями называют такие

колебания, которые происходят в системе, представленной самой себе,

после того как ее вывели из положения равновесия.

При вынужденных колебаниях на систему действует внешняя

периодически меняющаяся сила. Частный случай вынужденных колеба-

ний - автоколебания: моменты действия вынуждающей силы задает сама

система.

В § 16 было показано, что

вблизи положения равновесия, т.е.

минимума потенциальной энергии,

движение частицы имеет колеба-

тельный характер. Вберем нулевой

уровень отсчета Е_п и начало коор-

динат так, что бы минимум Е_п =0

и соответствовал точке х=0

(рис.17.1).

Вблизи минимума, т.е. при

достаточно малых «x», любая

функция f(x) имеет вид параболы.

Следовательно, для достаточно

малых x

Е_п(х)~х² (17.1)

Если выполняется условие (17.1), движение называют малыми колебани-

ями. Обозначим коэффициент пропорциональности в соотношении (17.1)

k/2, где «k» некоторая постоянная. Тогда

E_п(x) = (17.2)

Из уравнения (13.3) получим:

53

¶ E_п

F_x = - = -kx

¶ x

Следовательно, вблизи минимума потенциальной энергии на частицу дей-

ствует такая же сила, как сила упругости (уравнение (5.3)). Ее называют

квазиупругой силой.

Запишем второй закон Ньютона:

2

F = ma ⇒ F_x = ma_x . Т.к. a_x = = x

dt²

то - kx = mx ; mx + kx = 0 ; x + x = 0 (17.4)

Величина > 0 ; обозначим ее w₀²:

k

(17.5)

m

Подставим (17.5) в (17.4):

(17.6)

Уравнение (17.6) называется дифференциальным уравнением гармониче-

ских колебаний. Решением дифференциального уравнения (17.6) являют-

ся функции, имеющие вид:

x = A cos(w₀t + a ) ; x = Asin(w₀t + a ) (17.7а)

где A, a, a - некоторые константы (то, что (17.7а) решение (17.6) можно

проверить непосредственной подстановкой). Уравнения (17.7а) называют-

ся кинематическим уравнением гармонических незатухающих колебаний.

(Отметим, что рассматриваемые колебания являются собственными)

Поскольку cosj = sin(j - p/2), то от первого уравнения (17.7а)

всегда можно перейти ко второму и наоборот. В дальнейшем, для опре-

деленности, будем использовать первое из уравнений (17.7а):

(17.7)

В уравнении (17.7) x- величина отклонения от положения равновесия;

w₀- называется циклической частотой; j = w₀t + a - называется фазой

колебания (измеряется в радианах); при t = 0 j = a, a - называется

начальной фазой. Т.к. максимальное значение cosj = 1, то из (17.7) полу-

чим модуль максимального значения отклонения от положения равнове-

сия |X_m|:

54

x_m = A

Величина А - называется амплитудой колебания. На рис.(17.2) показан

график гармонических колебаний (т.е. график уравнения (17.7)).

Промежуток времени T, разделяющий два положения, у которых

фаза отличается на 2 p называется период колебания (рис 17.2). Из опре-

деления периода T получим:

Рис 17.2

j₁=w₀t₁+a; j₂=w₀t₂+a;

j₁ - j₂=2p⇒ w₀ (t₂ –t₁ )=2p⇒

ω₀T = 2π ; T = (17.8)

Другими словами период - это время одного полного колебания:

T=t/N, (17.8а)

где N число колебаний совершенных за время t.

Частота колебаний n - число колебаний в единицу времени:

Из сравнения с уравнением (17.8а) видно, что частотой колебаний n

обратна периоду:

ν = = (17.9)

Из уравнений (17.8), (17.9) получим единицы измерения величин T и n:

[T]=c ; [n]=1/c=Гц (Герц)

55