§ 26. Основные понятия релятивистской динамики
В
релятивистской
динамике
импульс
частицы
равен:
r m0υ r
, (26.1)
1-υ2 c2
m0
(26.2)
1- υ2 c2
В этих уравнениях u - скорость частицы, m0 - величина, не зависящая от
скорости тела. Сравнивая уравнения (26.1),(26.2) с выражением для им-
пульса в классической механике (§ 6, уравнение(6.3)), можно сказать, что
73
и в релятивистской динамике импульс равен произведению массы m на
скорость. Однако в этом случае масса зависит от скорости по закону
(26.2). В такой трактовке m0 называют массой покоя, а m - релятивист-
ской массой или массой движения.
Релятивистское выражение второго закона Ньютона имеет вид:
r
r
(26.3)
1- υ2 c2
Для того чтобы найти энергию поступим так же, как в § 11 - работа силы
равна приращению энергии:
Fds = dE (26.4)
Подставив в (26.4) уравнение (26.3) и проинтегрировав результат, можно
получить:
E
=
Если частица покоится (u = 0), получим энергию покоя E0:
E0
=
m0c2
(26.6)
(В энергию Е не входит потенциальная энергия во внешнем силовом по-
ле).
Кинетическая энергия Ек равна разности энергий движущейся
частицы и энергии покоя:
Eк
=
E
-
E0
=
m0c
-
1
.
(26.7)
2 2
При u = c подкоренное выражение в знаменателе в уравнениях
релятивистской динамики стремится к ¥ . Если , то эти уравнения
теряют смысл. Это означает, что частица с массой покоя не может
двигаться со скоростью света
Все вышеприведенные уравнения (конечно, за исключением
уравнений (26.5),(26.7)) при u<<c переходят в уравнения классической
физики
Исключив из (26.1) и (26.5) скорость u, получим связь между
энергией
и
импульсом:
E = c p2 + m0c2 . (26.8)
Из этих же уравнений следует:
74
p = E υ c2 . (26.9)
При из (26.8) получим:
E=cp (26.10)
Это соотношение согласуется с (26.9) если u=c. Следовательно, частица
с массой покоя равной нулю, всегда движется со скоростью света. В част-
ности такой частицей является фотон. Импульс такой частицы может
быть найден из соотношения (26.10).
75
ОГЛАВЛЕНИЕ
Математическое введение ......................................... 1
Глава 1. Кинематика ................................................ 8
§ 1. Механическое движение. Система отсчета.
Материальная точка. Абсолютно твердое
тело. Границы применимости классической
механики ............................................................. 8
§ 2. Радиус вектор, перемещение, траектория,
путь. Вектор скорости, модуль вектора
скорости. Уравнение пути................................ 9
§ 3. Ускорение. Нормальное и тангенциальное
ускорение. ........................................................... 12
§ 3a Вывод формул для тангенциального и
нормального ускорений.................................. 14
§ 4. Вращательное движение. Угловая скорость.
Угловое ускорение. Период, частота. Связь
между линейными и угловыми характеристи-
ками ..................................................................... 16
Глава 2. Динамика .................................................... 22
§ 5. Первый закон Ньютона. Инерциальные
системы отсчета. Понятие силы. Силы в
механике.............................................................. 22
§ 6. Масса. Второй закон Ньютона. Импульс.
Третий закон Ньютона. Понятие
состояния ............................................................ 24
§ 7. Второй закон Ньютона для системы
материальных точек. Центр масс.
Импульс системы. Второй закон Ньютона
для твердых тел. ............................................... 25
§ 8. Момент силы и момент импульса относительно
точки и оси. Плечо силы ................................... 29
§ 9. Момент импульса и момент инерции тела
76
относительно оси. Уравнение моментов.
Закон динамики вращательного движения
твердого тела относительно неподвижной
оси. Теорема Штейнера ..................................... 31
Глава 3. Работа. Энергия .......................................... 36
§ 10. Работа. Работа при вращательном
движении. Мощность ........................................ 36
§ 11. Работа и кинетическая энергия. Кинетичес-
кая энергия при вращательном движении. ...... 38
§ 12. Поле сил. Консервативные силы. Потен-
циальная энергия и работа консервативной
силы. Потенциальная энергия в поле сил
тяжести, потенциальная энергия
упругой деформации.......................................... 41
§ 13.Связь между консервативной силой и
потенциальной энергией. .................................. 44
§ 14.Работа неконсервативных сил и
механическая энергия ........................................ 46
Глава 4. Законы сохранения в механике................ 47
§ 15. Закон сохранения импульса.
Закон сохранения момента импульса.
Закон сохранения механической энергии........ 47
§ 16.Условие равновесия механической
системы. Потенциальная яма,
потенциальный барьер...................................... 49
Глава 5. Колебания. Волны...................................... 52
§ 17.Колебания. Дифференциальное уравнение
гармонических колебаний. Кинематическое
уравнение гармонических колебаний.
Амплитуда, фаза, частота, период колебаний.. 52
§ 18.Скорость и ускорение при гармонических
колебаниях. Энергия гармонических
77
колебаний............................................................ 55
§ 19.Сложение одинаково направленных
колебаний............................................................ 56
§ 20.Маятники. Пружинный, физический,
математический маятники................................. 58
§ 21 Затухающие колебания. Логарифмический
декремент затухания.......................................... 60
§ 22.Вынужденные колебания. ................................. 62
§ 23.Волны. Волны поперечные и продольные.
Волновая поверхность, фронт волны.
Уравнение плоской волны, длина волны,
волновое число. Фазовая скорость ................... 64
Глав 6. Принцип относительности Галилея.
Элементы специальной теории
относительности ............................................ 68
§ 24.Принцип относительности Галилея. ................ 68
§ 25.Постулаты Эйнштейна. Преобразования
Лоренца, следствия из них ................................ 69
§ 26.Основные понятия релятивистской
динамики ............................................................. 72