§ 16. Условие равновесия механической системы. По-

тенциальная яма, потенциальный барьер

Рассмотрим одномерное движение частицы, у которой зависимость по-

тенциальной энергии от ее положения E(x) имеет вид, показанный на рис.

16.1. На частицу действует консервативная сила, проекция которой на ось

X, согласно (13.4), равна:

50

F_x = - . (16.1)

Будем считать, что

другие силы на части-

цу не действуют, т.е.

выполняется закон

сохранения механиче-

ской энергии (§ 15):

E = E_п + E_к = const

Если на графике по-

тенциальной энергии

отложить значения Е,

то получим прямую

линию, параллельную

оси Х (на рис 16.1 - линии 1 и 2, соответствующие двум разным значени-

ям Е). По графикам Е и Е_п можно определить как величину Е_п так и Е_к

(на рис 16.1 эти величине указаны для полной энергии Е₁ в точке Х₄). Из

уравнения (16.2) и рисунка видно , что при механической энергии, равной

Е_1, для точек

Х < Х₁ ; Х₂ < Х < Х₃

Е_к < 0. Отрицательное значение кинетической энергии не имеет физиче-

ского смысла, а значит, в этих точках частица быть не может.

В точках экстремума (т.е. в точках Х₀ и Х₀₁) производная равна

нулю:

dЕ_п

dx

Учитывая (16.1) получим, что в точках Х₀ и Х₀₁ сила, действую-

щая на частицу, равна нулю. Если частица находится в этих точках и ско-

рость её равна нулю, то она в них может находиться сколь угодно долго -

эти точки соответствуют положению равновесия частицы. В точке Х₀ -

положение устойчивого равновесия; в точке Х₀₁ - положение неустойчи-

вого равновесия. Таким образом, минимум потенциальной энергии соот-

ветствует положению устойчивого равновесия; в этом положении сила,

действующая на тело, равна нулю.

Рассмотрим частицу, которая находится в точке с координатой

Х₁. В этом положении ее кинетическая энергия равна нулю (т.к. здесь Е₁

= Е_п => Е_к = 0), следовательно равна нулю и скорость. Однако в этом

положении на частицу действует сила, для которой, согласно графика и

51

уравнения (16.1), F_x > 0. Под действием силы частица начнет двигаться в

положительном направлении оси Х, её потенциальная энергия будет

уменьшаться, а кинетическая энергия расти (уравнение (16.2)). В точке Х₀

потенциальная энергия достигнет своего минимального значения, а кине-

тическая, соответственно - максимального. Т.к. в точке Х₀ у частицы есть

скорость она продолжит движение. При этом её потенциальная энергия

будет расти, а кинетическая энергия - уменьшаться. В точке с координа-

той Х₂ частица остановится т.к. в этой точке (также как и в точке Х₁) её

кинетическая энергия равна нулю. Далее движение повториться в обрат-

ном порядке от точки Х₂ до точки Х₁ и т.д.

Область между точками Х₁ и Х₂ называется потенциальной ямой.

Из сказанного выше следует, что частица в потенциальной яме совершает

колебательное движение.

Область между точками Х₂ и Х₃ для частицы с механической

энергией Е₁ не достижима. Эту область пространства называется потен-

циальным барьером (на рис 16.1 Е_п0 - высота потенциального барьера).

Для того чтобы частица смогла преодолеть потенциальный барьер ее ме-

ханическая энергия должна быть больше высоты потенциального барье-

ра, например, такая как Е₂ на рис. 16.1.

52