§6 Масса. Второй закон Ньютона. Импульс.

Третий закон Ньютона. Понятие состояния

При действии на частицу силы ее скорость будет меняться. Под

действием одной и той же силы изменение скорости разных тел различно.

Чем меньше изменение скорости, тем больше инертность тела, т.е. мень-

ше реакция на внешнее воздействие. Количественная мера инертности тел

называется массой. За единицу массы в системе СИ принята масса эта-

лонного тела, которое хранится в Международном бюро мер и весов. Эта

единица называется килограмм (кг).

Второй закон Ньютона: в инерциальной системе отсчета ускоре-

ние приобретаемое телом прямо пропорционально силе, действующей на

тело, и обратно пропорционально массе m тела:

r F

(6.1)

_r

В (6.1) под силой F надо понимать результирующую действующих сил

(см.(5.1)). Из второго закона Ньютона следует - вектор ускорения направ-

лен в ту же сторону, что и результирующая действующих сил (т.к. в меха-

нике всегда m>0). Из (6.1) найдем единицы измерения силы -“Ньютон”

[ ] = 1кг´1м/с² = 1 H

Подставим в (6.1) уравнение для ускорения (3.2):

F =ma =

В классической механике масса тела величина постоянная. Внесем ее под

знак производной:

F = . (6.2)

Величина

25

_r

P = mu (6.3)

называется импульсом тела. Следовательно

r r

(6.4)

Таким образом, второй закон Ньютона можно сформулировать по друго-

му: сила равна первой производной от импульса тела по времени, или си-

ла равна скорости изменения импульса.

В частном случае при F =0 из (6.1) следует a = 0, т.е. результат

совпадает с первым законом Ньютона. Несмотря на это первый закон

формулируют независимо от второго, т.к. в нем постулируется (утвержда-

ется) существование инерциальных систем отсчета.

Всякое действие тел друг на друга носит характер взаимодействия

(рис.6.1): если тело 1 действует на тело 2 с силой F₂₁, то и тело 2 действу-

Третий закон Ньютона: силы взаимодей-

ствия двух тел равны по величине и противопо-

ложно направлены:

F₁₂ =

Третий закон Ньютона справедлив только при

скоростях много меньше скорости света, т.е. справедлив в рамках класси-

ческой механики.

Состояние механической системы характеризуют координатами и

скоростью всех частиц этой системы (или величинами, связанными со

скоростью - импульсом и т.п.). Зная состояние системы в данный момент

времени можно предсказать дальнейшее ее движение. Состояние системы

можно в принципе найти, решив уравнение (6.1) или (6.4). Таким образом,

второй закон Ньютона позволяет, зная воздействие на систему F (x,t),

найти состояние системы. В этом смысле этот закон один из основных в

механике.

§7. Второй закон Ньютона для системы материальных

точек. Центр масс. Импульс системы. Второй закон

Ньютона для твердых тел.

Рассмотрим систему, состоящую из двух частиц (рис. 7.1). Силы

взаимодействия между телами называются внутренними, (на рис. 7.1 это

F₁₂ и F₂₁); силы взаимодействия тел системы с остальными телами назы-

26

_{r r}

ваются внешними (силы F₁ , F₂ ). Запишем второй закон Ньютона (урав-

нение (6.1)) для каждой частицы:

Рис.7.1

r

F₁ + F_{12 =} ^dP1

dt

r

F₂ + F_{21 =} ^dP2

dt

Сложим эти уравнения:

r r r r

Согласно 3 закону Ньютона сумма внутренних сил равна нулю:

F₁₂ + F₂₁ = F₁₂ - F₁₂ = 0

Сумма производных равна производной от суммы:

_{r r}

F₁ + F₂ ^d

dt

Аналогично можно получить для произвольного числа частиц:

d

= , (7.1)

dt

_{r r}

где F_i - внешняя сила, действующая на i-ую частицу, P_i - импульс i-ой

частицы. Обозначим

= ; = , (7.2)

27

_{r r}

где F - сумма внешних сил; P - называется импульсом системы.

Следовательно, для системы частиц второй закон Ньютона имеет вид:

dP

, (7.3)

dt

_{r r}

где F - сумма внешних сил; P - импульс системы.

Точка пространства, положение которой определяется радиус-

вектором r_c , равным

_∑

r_c ⁼

называется центром инерции или центром масс системы частиц. В урав-

нении (7.4) m_i,r_i соответственно масса и радиус-вектор i-той частицы.

Сумма масс частиц есть масса системы:

= (7.5)

Возьмём производную по времени от уравнения (7.4):

_r

= ⇒ = ( )⇒

= (7.6)

dt m dt

Производная слева в (7.6) есть скорость центра масс, а производная спра-

ва - скорость i-ой частицы.

r dr_С r dr_i r 1 r

dt dt m

Т.к. m_iu_i = P_i (импульс i-ой частицы), то

P_i

(7.7)

mu_c

Учитывая (7.2), имеем:

(7.8)

Из (7.7) и (7.8) следует: импульс системы равен произведению

массы системы на скорость центра масс. Подставим (7.8) в (7.3):

28

r d(mu ) du_C

dt

r

= a_C , где a_C - ускорение центра масс, то

= (7.9)

Т.е. сумма внешних сил равна произведению массы системы на

ускорение центра масс. Очевидно, что второй закон Ньютона для одной

частицы есть частный случай закона для системы частиц.

Всё сказанное можно применить для любого тела, представив его

состоящим из огромного числа материальных точек. Если тело является

абсолютно твёрдым, то взаимное расположение частиц такого тела при

его движении не меняется. Следовательно, не меняется положение центра

масс частиц (т.е. тела) относительно самого тела. Таким образом, второй

закон Ньютона (7.3) с учетом (7.8) и (7.9) описывает движение центра

масс твердого тела - фактически описывает движение материальной точ-

ки с массой тела, и расположенной там, где находится центр массы тела

(отметим, что центр массы тела совпадает с его центром тяжести). Сумма

внешних сил, действующих на тело в этом случае равна сумме всех сил,

приложенных к этому телу.

Если имеется система твёрдых тел, то, поскольку каждое из тел

описывается вторым законом Ньютона как материальная точка, то всё

вышеизложенное (уравнения (7.3), (7.4), (7.8), (7.9)) справедливо и для

системы твердых тел.