7.3. Применение информационного подхода для анализа нелинейных автоматических систем

Проблемы анализа автоматических систем. Традиционная теория автоматического управления, хотя и признает информаци­онную природу процессов управления, тем не менее зиждется на изучении преобразований, которым подвергаются носители инфор­мации (сигналы), но не сама информация. Это означает, по сущест­ву, энергетический, а не информационный подход к анализу авто­матов, который для них явно недостаточен.

Этот подход интересуется преобразованиями, которым подвер­гается лишь первичная чувственная информация J, оставляя без

389

внимания содержательную сторону управления. Действительно, если линейная автоматическая система описывается передаточной функцией fV(s) = y(s)/x(s). где х и у - физические величины, харак­теризующие соответственно входной и выходной сигналы, то со­гласно выражению (3-81) Us)= x(sy^x; Jy(s) = y(s)/^y, откуда Jy(s)/J,(s) = AytV(sy^x.

Таким образом, обычный детерминистский подход к анализу автоматических систем посредством дифференциальных уравнений и передаточных функций не поднимается над уровнем чувственного анализа.

Обратимся теперь К оценке сущности управляющей системы общего вида. Цепью лК>бого управления является увеличение до заданного значения р^ априорной вероятности р, нахождения сиг­нала в зоне, определяемо** разрешающей способностью применяе­мых измерительных приборов. Например, если в стохастической системе управления локализуется сигнал в зоне ± Лх с вероятностью

х+йх/2

р =\ f (x)dx, в то время как без управления эта вероятность сос-

^ус" x-&x/!^c

-г+ЛсС

тавляла р =J f(x)dx, то суть системы управления составит А//=

х-йхЛ

= Н^ -Н^= log(p^„), причем в стационарном режиме ЛЯ = 0.

При малых Лх, когда внутри этого промежутка распределение практически равномерно, имеем \Н = \o%(fy^fo)-

В детерминированных системах, в которых ру^ = 1 в пределах, определяемых погрешностью ± Дл/2, сущность управления состав­ляет АН= - log р,. Для линейных систем fyJf, = К, где К - коэффи­циент усиления системы. Поэтому в линейных безынерционных си­стемах с коэффициентом усиления К имеет место ЛЯ = log К. Ины­ми словами, сущность линейной системы определяется логарифмом коэффициента усиления, что достаточно тривиально (в теории ав­томатического управления интуитивно пришли к целесообразности, использования логарифмических характеристик), но важно для дальнейшего исследования нелинейных систем.

Нелинейные цепи. В безынерционных нелинейных системах ко­эффициент усиления является функцией сигнала, так что

К(х) = dy/dx =Лх)(/(у). (7.5)

При идеальной релейной нелинейности у = с sign x (рис. 7.4) и симметричном относительно х = О законе распределения, если умножить числитель и знаменатель выражения (7.5) на Ау, получим К(х)=2ЛуДх), поскольку в этом случае у > 0 и у < 0 равновероятны. 390

Следовательно, например, для равномерного распределения их) ^fo ⁼ const имеем .Длс)=Ду/о = const. а для нормального распре-

/ ^х

деления f(x) =s ——.=== ехр(- ——,-) имеем СГ^2р 2о'

К(х) = (ЛУ^)^ ехр(-^).. (7.6)

Д)

причем поскольку J K(x)dx = с, то в обоих случаях Ау= с.

о

Таким образом, при равномер­ном распределении входного сигна­ла А=2с/о, т. е. с этой точки зрения идеальное реле - линейный элемент.

При наиболее естественном нор­мальном распределении релейная характеристика сильно сглаживает­ся в зависимости от сг (рис. 7.4):

К(х)={с/а)-^/х ev^-x¹/!^ ), и ста­новится легко линеаризуемой обыч­ным способом для малых л:

Рч... 7.4

К(х} sK(0) = (с/о)^я = const. а анализ системы сводится к аппарату линейных цепей.

Понятно, что при смещении нелинейной характеристик по оси .v вправо или влево на .v„ вместе с ней переместятся и линеаризованные характеристики, так что динамические коэффициенты усиления вместо К(х) станут К(х -.y,,). а нелинейная характеристика примет вид: ^

>-+с=^(л--л,)</.\. (7.7)

-СО

Например, при смещении вправо идеальной релейной характе­ристики для нормального распределения получим:

К(х - х.) =

1х-х.

а

(7.S)

Напротив, при смещении характеристики по оси у вверх или вниз на величину у у динамические коэффициенты усиления не изме­няются; но характеристика согласно (7.5) приобретает вместо

(7.9) 391

Х л

у = ^К(х) dx- с вид у -у, = J K(x) dx - с.

С учетом всего сказанного изображенная на рис. 7.5 нелинейная характеристика представляет собой совокупность двух идеальных релейных характеристик, каждая высотой не 2с, а с, одна из кото­рых смещена вправо вверх, а другая - влево и вниз, так что для нормального распределения

с П (-x'+x^ хх. К(х + л-о) + К(х - л„)= -, -ехр ————°- \ch — сг\л- \ 1а¹ ) а-

^\ch—^=K{x) (7.10)

(7.11)

(7.12)

Соответственно (рис. 7.6):

х х

с + у = J К{х + x”)dx +!К(х- Xo)dx.

-“о -“о

Линеаризация такой характеристики дает для малых х

с ГГ г² К(х) ^К(0) = J ~ ехр(- -——) = const.

2а¹

сг \п

Наконец, неоднозначная релейная характеристика, образующая прямоугольную гистерезисную петлю (рис. 7.6), может быть пред-

tf,- -X.

i

У

	f..		^		-^ /'• .

^		^	tf^tf,
Рис.		•с 7.6

Рис. 7.5

ставлена совокупностью двух идеальных релейных характеристик, одна из которых смещена вправо на л-о, а другая - влево на такую же величину, причем выбор той или иной из них определяется зна­ком производной от .v, т.е. sign х':

f²^ (x-x.signx'Y

(7. 13) Таким образом, и для прямоугольной гистерезисной петли имеем

К(х -x^ign х) = - - ехр(- ——°-^-^-). сг \л сг

л'

у = J К(х'- XasigH х )dx - с sign х'. (7.14)

— <ю

Сглаживающее действие информационного подхода на нелиней­ные характеристики объясняется тем, что информация всегда под-392

разумевает конечную точность задания или измерения параметров процессов. Но, пытаясь измерить нелинейную характеристику с резкими изломами и другими разрывами непрерывности посред­ством прибора, имеющего ограниченную разрешающую способ­ность, мы, естественно, не обнаружим никаких изломов и разрывов, если они не выходят за рамки разрешающей способности измери­тельного прибора. Поскольку же для нормального распределения ошибок разрешающая способность прибора определяется средне-квадратическим отклонением о, то и сглаживание нелинейных ха­рактеристик тем значительнее, чем больше а, т. е. чем больше ошибки, допускаемые измерительным прибором.

Эффект сглаживания нелинейных характеристик имеет место при случайных воздействиях на систему управления даже при чув­ственном анализе. Что касается содержательного анализа, то он при всех обстоятельствах приводит к эффекту точной линеаризации не-линейностей.

Действительно, в общем случае нелинейной безынерционной си­стемы имеем +„

Ну = Я, + f^x) log (Ах/А^) K(x)dx . (7.15)

—w

где интеграл, представляющий собой среднее значение логарифма дифференциального коэффициента усиления системы, не зависит от х.

Соотношение (7.15) соответствует линейной системе с коэффи­циентом усиления Кц, для которой-

(7.16)

Таким образом с позиции соотношения сущности сигналов на входе и выходе (7.15) существуют только линейные системы со ста­тической характеристикой у = К^х. Иными словами, содержа­тельный анализ приводит к точной замене нелинейной характери­стики полностью эквивалентной по своей сути линейной характери­стикой. Разумеется, такая замена действительно абсолютно точна, если точно известнаУ(:с) в соотношении (7.16).

Однако в замкнутых нелинейных системах даже при известной плотности распределения входного сигнала системы плотность рас­пределения /(х) на входе нелинейного звена практически может быть определена лишь с той или иной степенью точности, так что в замкнутых системах К, часто можно определить лишь приближен­но. Тем не менее сама по себе линеаризация любых нелинейных си­стем с позиций содержательного анализа всегда правомерна.

Таким образом, например, при синусоидальном сигнале, име­ющем f^x) = l^n'^-x¹), эквивалентный линейный коэффициент 393

усиления для идеального реле (рис. 7.4) согласно выражению (7.1 б) составит ' '

logK-J^-log—————.log⁴?, (,,„ л^а^-х² n^a'-x¹ an

что совпадает с коэффициентом гармонической линеаризации иде­ального реле. Таким образом, с содержательных позиций гармони­ческая линеаризация является не приближенной, а точной операци­ей, дающей коэффициенты усиления сущности сигнала.

Приведенные примеры анализа нелинейных систем имели целью продемонстрировать возможность получения с помощью информа­ционного подхода новых по сравнению с теорией автоматического управления результатов. С другими примерами, развивающими эту теорию, и в частности для анализа процессов управления в про­странственно-временных ситуациях (неизменных, произвольно эво-люционирущих и т. п.), а также с другими примерами применения информационного подхода для анализа систем различной физи­ческой природы, можно познакомиться в [2, 3.2 - 3.6].

Полученные результаты представляют интерес для исследования поведения сложных технических комплексов и развивающихся си­стем различной физической природы.