- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика Программа курса
- •Случайные события
- •Классическое определение вероятности
- •Вероятность произведения событий
- •Вероятность суммы двух событий
- •Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •Вероятность появления хотя бы одного из n независимых событий
- •Общая теорема сложения
- •Формула Бернулли
- •Формула Пуассона
- •Простейший поток событий
- •Случайные величины Закон распределения дискретной случайной величины
- •Математическое ожидание и дисперсия
- •Биномиальное распределение. Распределение Пуассона
- •Функция распределения и ее свойства Плотность распределения
- •Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины
- •Нормальный закон распределения
- •Понятие о центральной предельной теореме Ляпунова Интегральная теорема Муавра-Лапласа
- •Элементы математической статистики Эмпирическая функция распределения
- •Генеральное и выборочное среднее Генеральная и выборочная дисперсии
- •Интервальные оценки параметров распределения Оценка неизвестного математического ожидания нормально распределенной с.В. При известном среднем квадратичном отклонении
- •Элементы теории корреляции Выборочное уравнение регрессии
- •Пример контрольной работы (дневное отделение)
- •Примеры контрольных тестов тест 1
- •1) Несовместные; 2) невозможные; 3) независимые равновозможные; 4) достоверные; 5)независимые
- •1) Нельзя определить; 2) 16 или 17; 3)18; 4) 15; 5) 16.5
- •43.4; 2) 1; 3) 12.04; 4) 5.6; 5) Данных недостаточно
- •1) 1; 2) 0; 3) Данных недостаточно; 4) 0.5; 5) 6
- •Равновозможные; 2) достоверные; 3) независимые; 4) несовместные;
- •5) Невозможные.
- •1) 1; 2) 0; 3) Данных недостаточно; 4) 2; 5) 0.5
- •1) 3; 2) 2.5; 3) 0.6; 4) 1; 5) Данных недостаточно
- •1) Данных недостаточно; 2) 1; 3) 0; 4) 0.5; 5) 17
- •1)Данных недостаточно; 2) 50; 3) 3; 4) 7; 5) 25
- •Литература
Математическое ожидание и дисперсия
Математическим ожиданием случайной величины называется сумма произведений возможных значений случайной величины на вероятности, с которыми она принимает свои возможные значения.
|
(18) |
Вероятностный смысл математического ожидания заключается в том, что математическое ожидание примерно равно среднему арифметическому значений, которые принимает случайная величина в результате проведения достаточно большого числа испытаний, т.е., если проведено N испытаний и с.в. значение x1 приняла N1 раз, x2 – N2 раз, и т.д. xn –Nn раз, то величина с очень большой вероятностью будет мало отличаться от M(X). (Подробнее об этом смотрите в теме «интервальные оценки параметров распределения», а также [1,2].)
Пример19. В тесто для калорийных булочек добавляют изюм. Определить сколько изюминок попадает в каждую булочку.
Решение. Пусть для изготовления булочек замешивают V кг теста, а на одну булочку используют v кг (например, 0.1 кг). Тогда из одного замеса можно испечь N=V/v булочек. Допустим, что в каждую булочку необходимо положить изюминок (например, =10). Справедливо предположение, что в каждую булочку изюминка может попасть независимо от других. Введем случайную величину X - число изюминок в булочке. Случайная величина X распределена по биноминальному закону (14):
Вер{X=m}=Pn(m)= ,
где p = 1/N = v/V, q =1-p, n = N, m=0,1,…,n,
где = np.
Предположим, что N - большое число, тогда вероятность p мала..
При больших значениях n пользоваться формулой (14) затруднительно. Например, при N=200, вероятность того, что в данную булочку попадет ровно 9 изюминок равна
P200(9)= = .
Расчеты существенно упрощаются, если рассмотреть предельный случай, когда n , а = np остается постоянным числом (на практике это соответствует тому, что вероятность появления случайного события мала, а число испытаний велико). В этом предельном случае распределение вероятностей подчиняется формуле Пуассона (16).
Используя формулу (14), получим P200(9)=0.12768; по формуле (16) находим P200(9) =0.12511. Таким образом, ошибка при использовании формулы Пуассона в данном случае равна 0.002.
Закон распределения Пуассона имеет вид:
X |
0 |
1 |
… |
m |
… |
P |
. |
. |
|
. |
|
Дисперсией называется математическое ожидание от квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
|
(19) |
Справедлива формула для вычисления дисперсии:
|
(20) |
где Дисперсия случайной величины характеризует рассеяние случайной величины относительно ее среднего значения (математического ожидания).
Свойства математического ожидания и дисперсии:
Математическое ожидание постоянной величины есть сама постоянная:
М(С) = С.
Константу можно выносить за знак математического ожидания:
М(СХ) = С М(Х).
Здесь закон распределения с.в. СХ получается из закона распределения с.в. Х умножением ее возможных значений на постоянную С, т.е. если с.в. определена законом распределения, представленном в таблице 1., то СХ определяется следующей таблицей:
Таблица 3
X |
Cx1 |
Cx2 |
… |
Cxk |
… |
Cxn |
P |
p1 |
p2 |
… |
pk |
… |
pn |
Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий:
М(Х + Y) = М(Х) + М(Y).
Свойства дисперсии непосредственно следуют из соответствующих свойств математического ожидания:
Дисперсия постоянной величины равна нулю:
D(C) = 0.
Постоянную можно выносить за знак дисперсии, возведя ее в квадрат:
D(C X) = C2D(X).
Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий:
D(X +Y) = D(X) + D(Y),
где X и Y независимы (случайные величины называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая с.в.).