Простейший поток событий

Одним из основных понятий современной теории массового обслуживания является понятие простейшего (пуассоновского) потока.

Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени. Примеры потоков: поступление вызовов на АТС, поступление вызовов на пункт неотложной медицинской помощи, прибытие кораблей в порт, последовательность отказов элементов устройства.

Простейшим называют поток, обладающим свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последствия. Свойство стационарности характеризуется тем, что вероятность наступления k событий за промежуток времени длины t не зависит от начала отсчета промежутка времени, а зависит лишь от его длительности. Например, вероятности наступления пяти событий на промежутках времени (1,4), (6,9), (8,11) одинаковой длительности t = 3 ед. времени равны между собой.

Свойство отсутствия последействия характеризуется тем, что вероятность наступления k событий на любом промежутке времени не зависит от того, сколько событий появилось до начала рассматриваемого промежутка.

Свойство ординарности означает, что вероятность наступления более одного события за малые промежутки времени пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью наступления одного события и пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью не наступления событий.

Интенсивностью потока λ называют среднее число событий, которые появляются в единицу времени. Если интенсивность потока известна, то вероятность того, что за время t наступит ровно k событий, вычисляется по формуле:

Рt(k) = e-λt .

(17)

Пример 17. Среднее число вызовов поступающих на АТС за одну минуту равно двум. Найти вероятность того, что за 4 минуты поступит: 1) три вызова; 2) менее четырех вызовов; 3) не менее четырех вызовов.

Решение. По условию λ = 2, t = 4.

1. Найдем вероятность того, что поступит три вызова:

Р₄(3) =

2. Вероятность поступления менее четырех вызовов:

3. Найдем вероятность того, что за четыре минуты поступит не менее четырех вызовов. Так как события ”поступило менее трех вызовов” и ”поступило не менее трех вызовов” противоположные, то сумма вероятностей этих событий равна единице:

отсюда

Так как найденная вероятность близка к единице, то полученный результат можно истолковать так, что последнее событие - это почти достоверное событие.

Случайные величины Закон распределения дискретной случайной величины

Случайное событие, заключающееся в появлении того или иного числа, называется случайной величиной. Различают два вида случайных величин (с.в.): дискретные и непрерывные. Случайная величина, принимающая отдельные изолированные значения, называется дискретной.

Законом распределения (или просто распределением) называется соответствие между возможными значениями с.в. и вероятностями, с которыми она принимает эти значения. Законы распределения задают различными способами: при помощи формул, в виде таблиц и т.д. случайные величины обозначаются большими буквами латинского алфавита X, Y и т.д.

Рассмотрим закон распределения дискретной случайной величины:

Таблица 2

X	x1	x2	…	xk	…	xn
Y	p1	p2	…	pk	…	pn

Здесь р_k = Вер = Р (читается: вероятность того, что случайная величина примет значение равное x_k). Так как в законе распределения перечислены все возможные значения случайной величины, то следует предполагать, что x_k  x_i при k j, р₁ + р₂ +…+ р_п = 1, и очевидно .

Пример18. В среднем по 10% договоров страховая компания выплачивает страховые суммы в связи с наступлением страхового случая. Составить закон распределения числа таких договоров среди наудачу выбранных четырех.

Решение. Вероятность p того, что по договору будет выплачена страховая сумма равна следовательно, Пусть случайная величина X- число договоров, по которым выплачивается страховая сумма среди наудачу выбранных четырех. Тогда X принимает значения 0, 1, 2, 3, 4. Найдем вероятности, соответствующие указанным значениям X:

Таким образом, получим закон распределения случайной величины

X	0	1	2	3	4
p	0.6561	0.2916	0.0486	0.0036	0.0001

Проверка: следовательно, закон распределения составлен правильно.