Элементы математической статистики Эмпирическая функция распределения

Математическая статистика разрабатывает способы сбора, группировки и анализа статистических данных, т.е. сведений, получаемых в результате наблюдения некоторой изучаемой случайной величины. При изучении случайной величины обычно имеют дело с совокупностью предметов, подлежащих обследованию относительно некоторого количественного признака Х. Совокупность предметов, подлежащих обследованию называется генеральной совокупностью, число предметов в генеральной совокупности называют объемом генеральной совокупности. Если обследование всей генеральной совокупности невозможно (объем ее слишком велик или даже равен бесконечности, или обследование предмета связано с его уничтожением), то обследуется только часть генеральной совокупности, которая называется выборочной совокупностью или выборкой. Число предметов в выборке называют объемом выборки. Виды и способы отбора могут быть весьма различными, важно только, чтобы выборка хорошо представляла генеральную совокупность, т.е. была репрезентативной (представительной).

Значение признака Х в выборочной совокупности называются вариантами. Пусть значение признака Х равное x₁ встретилось в выборке n₁ раз, x₂ встретилось в выборке n₂ раз, … , x_k встретилось в выборке n_k раз. Числа

называются частотами, объем выборки равен

(34)

числа

(35)

относительными частотами. Соответствие между вариантами и частотами или между вариантами и относительными частотами называется вариационным рядом. Вариационный ряд записывают обычно в виде таблицы:

Таблица 6

xi	x1	x2	…	xj	…	xk
ni	n1	n2	…	nj	…	nk

Задачей математической статистики является оценка неизвестных параметров распределения с.в. (приближенное определение неизвестной функции распределения, оценка неизвестного математического ожидания и дисперсии, определение зависимости между двумя с.в., проверка статистических гипотез и т.д.).

Определение. Эмпирической функцией распределения (или функцией распределения выборки) называют функцию F(x), определяющую для каждого значения относительную частоту события X<x:

(36)

где число вариант, для которых объем выборки.

Пример 28. Данные по продаже 100 пар мужской обуви в некотором магазине представлены следующим вариационным рядом

Размер ( )	37	38	39	40	41	42	43
Число проданных пар ( )	2	8	12	25	28	17	8
Относительная частота ( )	0.02	0.08	0.12	0.25	0.28	0.17	0.08

Построить эмпирическую функцию распределения.

Решение.

1. тогда значит F(x)=0;	2. F(x)=0.02;
3. F(x)=0.1;	4. F(x)=0.22;
5. F(x)=0.47;	6. F(x)=0.75;
7. F(x)=0.92;	8. F(x)=1.

Таким образом, получим следующую функцию распределения