Формула полной вероятности. Формула Байеса

Пусть событие А может произойти, когда происходит одно и только одно из событий H₁, H_2,…,H _n (гипотезы). Тогда вероятность события А может быть вычислена по формуле:

p(А) = р(Н1)р(А/Н1) + р(Н2)р(А/Н2) +…+ р(Нn)р(А/Нn),

(11)

т.е. вероятность события А равна сумме произведений вероятностей событий Н_i на условную вероятность p(А/Н_i) (или ) событие А при условии, что событие Н_i произошло.

Вероятность гипотезы после опыта (событие А произошло) вычисляется по формуле Байеса:

где P(A) определяется с помощью (11).

Пример 8. Имеются два ящика с деталями. В первом ящике содержится 7 деталей и среди них 3 бракованных; во втором – 5 деталей, среди которых 2 бракованных. Из первого ящика во второй наудачу перекладывается деталь. После этого из второго наудачу извлекается деталь. Найти вероятность того, что эта деталь окажется бракованной.

Решение. Пусть событие Н₁ – из первого ящика во второй переложили бракованную деталь; событие Н₂ - переложили качественную деталь. Тогда А = Н₁  А + Н₂  А (бракованную деталь из второго ящика можно достать в случае, если туда переложили бракованную деталь, или в случае, если переложена качественная деталь; т.е. событие А может произойти только вместе с событием Н₁, или вместе с событием Н₂). Применяя формулу (11) полной вероятности, получим

p(А) = р(Н₁)  р(А/Н₁) + р(Н₂)  р(А/Н₂) =  +  = .

Пример 9. Торговая точка получает некоторый товар от двух поставщиков, причем 70% общего объема продукции поступает от первого поставщика, а 30% - от второго. Брак продукции первого поставщика составляет 2%, второго – 3%.

1. Какова вероятность того, что взятый наудачу товар окажется бракованным?

2. Товар оказался бракованным. Какова вероятность, что он поступил от первого поставщика?

Решение. 1. Пусть событие A – взятый наудачу товар оказался бракованным. Введем гипотезы: - товар поступил от первого поставщика, - от второго, тогда

Следовательно,

3. Пусть событие A – произошло, т.е. взятый наудачу товар оказался бракованным. Найдем вероятность того, что он поступил от первого поставщика. По формуле Байеса имеем

Вероятность появления хотя бы одного из n независимых событий

Пусть вероятность появления события События независимы в совокупности. Тогда вероятность появления хотя бы одного из них равна:

(12)

где

Пример 10. Студент выполнил контрольные работы по трем предметам. Вероятность получения зачета по первой контрольной работе 0.7, по второй – 0.6, по третьей – 0.8. Какова вероятность сдачи хотя бы одной контрольной?

Решение. Пусть событие сдал первую контрольную работу, сдал вторую контрольную работу, сдал третью контрольную работу. Надо вычислить, следовательно,

Пример 11. Игральная кость брошена 6 раз. Найти вероятность того, что ”6” выпадет хотя бы один раз.

Решение. Здесь р = 1 – ⁶ = 0.665.

Общая теорема сложения

Пусть события - произвольные (могут быть совместными, зависимыми). Тогда вероятность появления хотя бы одного из них выражается формулой

(13)

Пример 12. В магазине «Книга-почтой» отослали по заданным адресам три различные книги, случайным образом надписав бандероли. Найти вероятность того, что хотя бы одна книга попала по назначению.

Решение. Пусть событие состоит в том, что на i-й бандероли указан правильный адрес События совместны и зависимы. Тогда

причем

Аналогично,

Таким образом,