Генеральное и выборочное среднее Генеральная и выборочная дисперсии

Генеральным средним называется среднее арифметическое значений признака Х в генеральной совокупности (обозначение ). Выборочным средним называется среднее арифметическое значение признака Х в выборочной совокупности:

(37)

Выборочное среднее является оценкой для генерального среднего или является оценкой неизвестного математического ожидания с.в., если выборка получена в результате наблюдения над некоторой случайной величиной.

Генеральной дисперсией называется дисперсия признака Х в генеральной совокупности. Выборочной дисперсией называется дисперсия признака Х в выборочной совокупности:

(38)

Для вычисления дисперсии используют формулу:

(39)

Дисперсия равняется среднему квадратов без квадрата среднего. Выборочная дисперсия является оценкой неизвестной генеральной дисперсии, или, ели наблюдается некоторая с.в., то выборочная дисперсия служит оценкой для неизвестной дисперсии. Пример на вычисление выборочного среднего и выборочной дисперсии см. ниже в разделе ”Выборочное уравнение регрессии”.

Интервальные оценки параметров распределения Оценка неизвестного математического ожидания нормально распределенной с.В. При известном среднем квадратичном отклонении

Пусть требуется оценить неизвестное математическое ожидание а нормально распределенной с.в., причем предполагается что среднее квадратичное отклонение  известно. Предположим, что в результате наблюдений получен вариационный ряд (см. таблицу 4). Известно, что выборочное среднее также распределено по нормальному закону с параметрами , дисперсией , где - объем выборки. Зададим некоторую доверительную вероятность  (обычно  = 0.95 или  = 0.99). По формуле (31) для некоторого  > 0 ( - точность оценки) получаем:

(40)

Обозначим . Решая уравнение (для решения последнего пользуются таблицами) находим t. Далее очевидно, что точность оценки Откуда получаем Интервал

называется доверительным интервалом.

Элементы теории корреляции Выборочное уравнение регрессии

Для выявления связи между двумя случайными величинами по наблюдаемым данным строят выборочное уравнение регрессии. Результаты наблюдения над двумя случайными величинами X Y приведены в таблице 7, которая носит название корреляционной таблицей. В таблице 7 в верхней строке приведены наблюдаемые значения с.в. X, в левом столбце – наблюдаемые значения с.в. Y. В правом последнем столбце таблицы приведены частоты n_y для с.в. для с.в. Y; например: Y=30 наблюдалось 60 раз. В нижней строке таблицы приведены частоты n_x для с.в. X; на пересечении i-ой строки и j-го столбца стоят частоты n_yx; например, пара Y = 30, а X =24 наблюдалось 7 раз, n =110 – объем выборки. Линейное выборочное уравнение регрессии имеет вид:

(41)

Данное уравнение показывает приближенную линейную зависимость между двумя с.в. (оно дает зависимость среднего значения с.в. Y от возможных значений с.в. Х). В этом уравнении

(42)

выборочный коэффициент корреляции.

Таблица 7

Y	X
	4	9	14	19	24	29	ny
10	4	6	-	-	-	-	10
20	-	7	3	-	-	-	10
30	-	-	3	50	7	-	60
40	-	-	1	10	6	-	17
50	-	-	-	4	7	2	13
nx	4	13	7	64	20	2	n = 110

В таблице 8 приведен вариационный ряд для с.в. Х; в таблице 9 - для Y.

Таблица 8

xi	4	9	14	19	24	29
ni	4	13	7	64	20	2

Таблица 9

yi	10	20	30	40	50
ni	10	10	60	17	13

Найдем выборочный коэффициент корреляции и составим выборочное уравнение регрессии Y на Х.

Наконец,

Выборочное уравнение регрессии имеет вид: