Вероятность произведения событий

Рассмотрим следующую задачу.

Пример5. Из колоды карт (36 листов) наудачу извлекаются две карты. Найти вероятности следующих событий:

а) вероятность появления двух тузов;

б) вероятность появления туза на втором месте при условии, что на первом месте был туз.

Решение. Ведем обозначения: событие А – туз на первом месте, событие В – туз на втором, тогда АВ – два туза. Имеем: . Два туза из имеющихся в колоде четырех можно вытащить способами; две карты из 36 можно вытащить способами. Тогда . Обозначим р(В/А) или р_А(В) – условная вероятность события В при условии, что событие А уже произошло. Если событие А уже произошло, то в колоде осталось 35 карт и среди них только 3 туза. Таким образом, . Из решения этой задачи получаем: .

В общем случае, вероятность произведения двух событий равна вероятности произведения одного из них на условную вероятность второго при условии, что первое уже произошло:

р(АВ) = р(А) · р(В/А).

(7)

Если события А и В независимы (т.е. появление любого из них не зависит от того, произошло другое событие или не произошло), то р(А/В) = р(А), р(В/А) = р(В) (не путать с несовместимыми событиями!). Для независимых событий вероятность произведения равна произведению вероятностей: р(АВ) = р(А) · р(В).

Для вероятности произведения n событий справедлива формула:

р(А1 · А2 ·…·Аn) = р(А1) · р(А2 /А1) · р(А3 /А1А2) ·…·р(Аn /А1А2…Аn-1),

(8)

т.е. вероятность произведения n событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события произошли.

Для независимых в совокупности событий А₁,…,А_n, формула вероятности произведения существенно упрощается, а именно, вероятность произведения событий равна произведению вероятностей:

р(А1 · А2 ·…·Аn) = p(A1) · p(A2) · p(A3) ·… · p(An).

(9)

Пример 6. На карточках написаны буквы Ю, Р, Т, А. Карточки наудачу раскладываются на столе одна за другой. Найти вероятность появление слова ЮРТА.

Решение. Введем обозначения: событие А₁ - буква Ю на первом месте; А₂ – Р на втором месте; А₃ – Т на третьем месте; А₄ – на четвертом месте; слово ЮРТА появится, если события А₁, А₂, А₃, А₄ произойдут вместе. Вероятность этого события есть

Р(А₁ ·А₂ · А₃ · А₄) = р(А₁) · р(А₂ / А₁) · р(А₃ / А₁А₂) · р(А₄ / А₁А₂А3) =

Эту задачу можно решить непосредственно пользуясь классическим определением вероятности: здесь число равновозможных исходов равно числу перестановок из четырех букв, т.е. n = P₄ = 4! = 1 ·2 ·3 ·4 = 24. появлению слова ЮРТА благоприятствует одна перестановка. Следовательно, искомая вероятность равна р = .

Вероятность суммы двух событий

В случае классического определения вероятности дается способ ее вычисления. В общем случае дать способ вычисления вероятности конечно же нельзя. Тогда постулируют свойства вероятностей случайных событий.

1. Предположим, что имеется некоторое множество случайных событий S:

а) U S, V S;

б) если А, В S, то и А + В S, S, А ·В S, т.е. мы всегда можем говорить о достоверном и невозможном событиях, о противоположных событиях, о сумме и произведении случайных событий.

2. Для любого случайного события А определено некоторое число р = р(А), которое мы называем его вероятностью, причем 0 р(А) 1.

3. р(U) = 1: вероятность достоверного события равна 1.

4. Если события А_1, А_2,…, А_n попарно несовместимы, то вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий, т.е. если А_i  Аj= V при i j, то р(А₁ + А₂ +…+ A_n) = p(A₁) + p(A₂) +…+ p(A_n).

Все эти аксиомы совпадают с соответствующими свойствами классической вероятности, и в случае классического определения вероятности они могут быть доказаны. Из сформулированных аксиом можно легко получить формулы:

p(А) + p( ) = 1, р(V) = 0.

Также нетрудно доказать, что вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

p(А + В) = р(А) + р(В) – р(АВ).

(10)

Заметим, что эта формула не противоречит аксиоме 4, т.к., если события А и В несовместимы, то р(АВ) = 0.

Пример 7. Два стрелка выстрелили в цель по одному разу. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0.9; вторым – 0.8. Найти вероятность поражения цели.

Решение. Пусть событие А – в цель попал первый стрелок, В – второй. Тогда событие В + А означает, что цель поражена:

p(А + В) = р(А) + р(В) – р(АВ) = 0.8 + 0.9 – 0.8  0.9 = 0.98.

Эту задачу можно решить и другим способом: