4. Геометрична прогресія.

Геометричною прогресією називається послідовність від­мінних від нуля чисел, кожний член якої, починаючи з друго­го, дорівнює попередньому, помноженому на те саме число (знаменник геометричної прогресії).

Приклад. 3; 9; 27; 81; 243; ... — геометрична прогресія, бо а₂ = а₁ ∙ 3; а₃ = а₂ ∙ 3; а₄ = а₃ ∙ 3; ... . (3 — знаменник цієї про­гресії).

Рекурентна формула геометричної прогресії

Якщо (b_п) — геометрична прогресія, то b_n+1 = b_nq, де b_п — п-й член; q — знаменник геометричної прогресії.

З рекурентної формули випливає:

Властивості геометричної прогресії:

а) для кожного члена геометричної прогресії, починаючи з дру­гого: —характеристична властивість;

б) якщо (b_п) — скінченна геометрична прогресія, то

b₁ ∙ b_n = b₂ ∙ b_n-1 = b₃ ∙ b_n-2 = const (b₁ і b_n — крайні члени цієї прогресії).

5. Формула п-го члена геометричної прогресії

Якщо (b_n) — геометрична прогресія, то b_n=b_lq^n-1,

де b₁ — перший член геометричної прогресії;

q — знаменник геометричної прогресії.

Приклад 1. Знайдемо шостий член геометричної прогре­сії (b₁): ; 1; 5; ... .

Розв'язання

b₁ = ; q = = 5; b₆ = b₁ ∙ q5 = ∙ 55 = 54 = 625.

Відповідь: 625.

Приклад 2. Знайдемо перший член геометричної прогресії (b_n), якщо

b₇ = 32; q = -2.

Розв'язання

b₇ = b₁ ∙ q₆ b1 = = = .

Відповідь: .

Приклад 3. Знайдемо знаменник геометричної прогресії (b_n), у якої

b₇ = -12, b₉ = -108.

Розв'язання

b₉ = b₁ ∙ q₈; b₇ = b₁∙ q₆ = q₂; q₂ = = 9, тоді q = 3 або q = -3.

Відповідь: 3 або -3.

6.Формули суми перших п членів геометричної прогресії

Якщо (b_n) — геометрична прогресія, q — її знаменник, a S_n — сума перших n її членів, то:

(1)

або (2)

! Зауваження: якщо q = 1, то Sn = b₁ ∙ n (b₁ = b₂ =... = b_n).

Приклад 1. Знайдемо суму перших восьми членів геометрич­ної прогресії (b_n): 3; -6; 12; ... .

Розв'язання

Маємо b1 = 3, q = = -2, тоді за формулою (2):

S8 = = = = -255.

Відповідь: -255.

Приклад 2. Знайдемо перший член геометричної прогресії (bп), якщо її четвертий член утричі більший за третій, а сума перших п'яти членів дорівнює -12,1.

Розв'язання

Оскільки b4 = 3b3, то q = 3. За умовою S5 = -12,l, тому, оскільки , тобто ; -12,1 = 121b1; b1 = -0,1.

Відповідь: -0,1.

7.Нескінченна геометрична прогресія, у якої | q | < 1

Приклади:

а) 1; ; ; ; ... q = , | q | < 1;

б) 3; ; ; ... q = , | q | < 1;

в) 100; 10; 1; ; ... q = , | q |< 1;

г) 32; 0,32; 0,0032; ... q = , | q | < 1.

Якщо (b_n) — нескінченна геометрична прогресія, у якої | q | < 1, то сума всіх її членів S обчислюється за формулою

Приклад 1. Знайдемо суму нескінченної геометричної про­гресії (b_n): 6; -2; ... .

Розв'язання

За умовою b₁ = 6; b₂ = -2, отже, q = = . Маємо геометрич­ну прогресію, у якої | q | < 1. За формулою знаходимо:

.

Відповідь; 4,5.

Приклад 2. Запишемо число 0,(7) у вигляді звичайного дробу.

Розв'язання

Запис 0,(7) означає нескінченний періодичний дріб 0,7777....

Його можна подати як нескінченну суму + + + … .

До­данки цієї суми є членами нескінченної геометричної прогресії, у якої

b₁ = , q = : = , | q | < 1. Тоді ця сума дорівнює:

. Тому 0,(7) = .

Відповідь: .