П.3. Застосування визначеного інтегралу в економіці, техніці, фізиці.

Література:

1 Є.П.Нелін, О.Є.Долгова Алгебра і початки аналізу. Дворівневий підручник для 11 класу загальноосвітніх навчальних закладів (Харків. Світ дитинства. 2006)

2. О.М.Роганін. Плани-конспекти уроків

3.М.І. Шкіль, З.І.Слєпкань. Алгебра і початки аналізу.11

Методичні вказівки:

Студенти повинні вміти:

Застосовувати визначений інтеграл для розв’язування практичних задач з фізики, технічні задачі, економічні задачі.

Питання для самоконтролю:

1. Як за допомогою визначеного інтегралу можна обчислити шлях тіла?

2. Як за допомогою визначеного інтегралу можна обчислити роботу змінної сили?

3. Як за допомогою визначеного інтегралу можна обчислити масу неоднорідного стержня?

4. Як за допомогою визначеного інтегралу можна обчислити величину заряду?

5. Як за допомогою визначеного інтегралу можна обчислити обсяг продукції?

Самостійне вивчення з розробкою конспекту та розв’язуванням задач.

План.

1. Визначення шляху точки, якщо відома її швидкість.

2. Визначення роботи змінної сили.

3. Маса неоднорідного стержня.

4. Визначення величини заряду, що переноситься через переріз провідника.

5. Визначення обсягу продукції виробленої за проміжок часу.

Форми поточного та підсумкового контролю самостійної роботи:

1.Поточний:

• усне опитування

• розв’язування задач.

2.Підсумковий:

• тематична контрольна робота

• державна підсумкова атестація

Лекційний матеріал до теми

Коментарі до таблиці.

1. Припустимо, що точка рухається по прямій (по осі ОХ) і нам відома швидкість цієї точки. Як знайти переміщення точки за проміжок часу [t₁; t₂]?

Розглянемо відрізок часу [t; t + Δt] і будемо вважати швид­кість на цьому відрізку постійною. Тоді одержимо Δs(t) = v(t)·Δt, звідси

2. Нехай тіло рухається по осі ОХ, в кожній точці якої прикла­дена деяка сила F = F(x). Обчислимо роботу, яку треба вико­нати при переміщенні із точки х₁ в точку x₂. На маленькому відрізку шляху від точки x до точки x + Δx можна вважати силу постійною, яка дорівнює F(x). Тоді ΔА(x) = F(x)Δx. Звідси одержуємо, що всю роботу на відрізку [x₁; x₂] можна записати у вигляді інтеграла:

Приклад 2. Обчисліть роботу сили F при стиску пружини на 0,06 м,

якщо для її стиску на 0,01 м потрібна сила 5 Н.

Розв’язування.

За законом Гука, сила F пропорційна розтягу або стиску пружини, тобто

F = kx, де х — величина розтягу чи стиску (у метрах), k — постійна. З умови

задачі знаходимо k. Оскільки при x = 0,01 м сила F= 5 Н.

Отже, F (x) = kx = 500x.

Використовуючи дані задачі, одержуємо:

A = dx =500 = 0,9 (Дж)

3. Розглянемо задачу обчислення маси неоднорідного стержня, якщо нам відомо, як змінюється його лінійна густина р(х). Візьмемо відрізок [x; x+Δx]. Вважаючи, що на цьому від­різку густина постійна, матимемо Δm(x) = р(x)Δx; звідси

4. Поставимо задачу обчислити заряд q, що переноситься за про­міжок часу [t₁; t₂] через переріз провідника. Нехай задано закон зміни струму І = I(t) в залежності від часу. Тоді на малому проміжку часу [t; t + Δt] можна вважати силу стру­му постійною, яка дорівнює I(t), a Δq(x) = I(t) · Δt і, отже

№1 Тіло рухається прямолінійно з швидкістю .Знайти шлях, який пройшло тіло:

а) за інтервал часу від t₁=5c до t₂=10c

б) від початку руху до зупинки .

№2. Точка рухається прямолінійно з прискоренням .Знайти шлях, який пройшла точка за інтервал часу t=1c до t₂=3c, якщо в момент часу t₁=1c швидкість дорівнює 10 м/с.

№3. Матеріальна точка, маса якої 5 кг, рухається по осі абсцис так, що діюча на неї сила . Знайти шлях, що пройде точка за проміжок часу t₁=2c до t₂=5c, якщо відомо, що в момент часу t=1c її швидкість буде 3м/с.

№4. Сила в 2H розтягує пружину на 6 м. Яку роботу треба виконати, щоб розтягнути пружину на 10см?

№5. Знайти кількість електрики, що проходить через поперечний переріз провідника за 10 с, якщо сила току змінюється за законом

№6. Знайти масу неоднорідного стержня довжиною 20 см, якщо його лінійна густина змінюється за законом (кг/м).

№7. Відомо, що продуктивність праці працівника наближено виражається формулою , де t- робочий час у годинах. Знайти обсяг продукції виробленої до обіду (за перші 4 години роботи).