П.4. Рівняння гармонійних коливань

Література:

1 Є.П.Нелін, О.Є.Долгова Алгебра і початки аналізу. Дворівневий підручник для 11 класу загальноосвітніх навчальних закладів (Харків. Світ дитинства. 2006)

2. О.М.Роганін. Плани-конспекти уроків

3.М.І. Шкіль, З.І.Слєпкань. Алгебра і початки аналізу.11

Методичні вказівки:

Розв'язування багатьох таких задач зводить­ся до розв'язування рівняння у" = -ω²y, де ω — задане додатне число, у = у(х), у" = (у’(х))'. Функцію (у'(х))' називають другою похідною функції у(х) і позначають у"(х) або коротко у". Розв'яз­ком рівняння у" = -ω²y є функції у(х) = С₁sin(ωх+С₂), де С₁ С₂ — постійні, що визначаються умовами конкретної задачі. Рівняння у" = – ω²y називають диференціальним рівнянням гар­монічних коливань, а у(х) = С₁ sin(ωx + С₂) — розв'язком гармо­нічних коливань.

Студенти повинні вміти:

Розв’язувати простіші диференціальні рівняння гармонійних коливань

Питання для самоконтролю:

1. Які рівняння називаються функціональними?

2. Які рівняння називаються диференціальними?

3. Які процеси описують диференціальні рівняння гармонійних коливань?

4. Як виглядає загальний розв’язок гармонійного коливання?

Самостійне вивчення з розробкою конспекту та розв’язуванням задач.

План.

1. Яке рівняння називається диференціальним рівнянням гармонійного коливання?

2. Що таке розв’язок гармонійного коливання

Форми поточного та підсумкового контролю самостійної роботи:

1.Поточний:

• розв’язування задач.

2.Підсумковий:

• тематична контрольна робота

• державна підсумкова атестація

Лекційний матеріал до теми

До сьогоднішнього дня ми розглядали рівняння, в яких не­відомими були числа. В математиці приходиться розглядати рівняння, в яких невідомими є функції. Так задача про знахо­дження шляху S(t) за заданою швидкістю v(t) зводиться до розв'я­зування рівняння S(t) = v(t), де v(t) — задана функція, a S(t) — шукана функція. Наприклад, якщо v(t) = 3 – 4t, то для знахо­дження S(t) треба розв'язати рівняння S'(t) = 3-4t.

Це рівняння містить похідну невідомої функції. Такі рівнян­ня називаються диференціальними рівняннями

У житті часто зустрічаються процеси, які періодично повто­рюються, наприклад коливальний рух маятника, струни, пру­жини і т. д.; процеси, пов'язані з електричним струмом, магні­тним полем тощо. Розв'язування багатьох таких задач зводить­ся до розв'язування рівняння у" = -ω²y, де ω — задане додатне число, у = у(х), у" = (у’(х))'. Функцію (у'(х))' називають другою похідною функції у(х) і позначають у"(х) або коротко у". Розв'яз­ком рівняння у" = -ω²y є функції у(х) = С₁sin(ωх+С₂), де С₁ С₂ — постійні, що визначаються умовами конкретної задачі. Рівняння у" = – ω²y називають диференціальним рівнянням гар­монічних коливань, а у(х) = С₁ sin(ωx + С₂) — розв'язком гармо­нічних коливань.

Наприклад, якщо y (t) — відхилення точки струни, що вільно коливається, від положення рівноваги в момент часу t, то

y (t) = A sin (ωt + ),

де А — амплітуда коливання, ω — кутова частота, — початкова фаза

коливання.

Графіком гармонічного коливання є синусоїда.

№1. Назвіть функцію, що задає гармонійне коливання з амплітудою 4, кутовою частотою 2 та початковою фазою .

№2.Записати диференціальне рівняння гармонійного коливання:

а) б)

№3. Знайти розв’язок диференціального рівняння, , що задовольняє умову , . Вказати амплітуду, кутову частоту та початкову фазу коливання.

№4. Знайти розв’язок диференціального рівняння, , що задовольняє умову , . Вказати амплітуду, кутову частоту та початкову фазу коливання.

№5. Записати загальний відмінний від нуля розв’язок рівняння:

а) ; б) ; в)