Тема 8. Похідна та її застосування.

П.1. Друга похідна функції та її механічний зміст

Література:

1 Є.П.Нелін, О.Є.Долгова Алгебра і початки аналізу. Дворівневий підручник для 11 класу загальноосвітніх навчальних закладів (Харків. Світ дитинства. 2006)

2. О.М.Роганін. Плани-конспекти уроків

3.М.І. Шкіль, З.І.Слєпкань. Алгебра і початки аналізу.11

Методичні вказівки:

Похідна від похідної першого порядку називається похідною другого порядку від функції і позначається .

Механічним змістом похідної другого порядку є прискорення руху матеріальної точки.

Студенти повинні вміти:

Обчислювати похідні другого порядку, застосовувати похідну другого порядку для знаходження прискорення руху матеріальної точки, якщо задано закон руху.

Питання для самоконтролю:

1.Що таке похідна другого порядку?

2. Механічний зміст похідної другого порядку.

Самостійне вивчення з розробкою конспекту та розв’язуванням задач.

План.

1. Похідна другого порядку.

2. Механічний зміст похідної другого порядку.

Форми поточного та підсумкового контролю самостійної роботи:

1.Поточний:

• перевірка конспектів

• письмове опитування

• розв’язування задач.

2.Підсумковий:

• тематична контрольна робота

• державна підсумкова атестація

Лекційний матеріал до теми

Нехай у = f(x) — деяка диференційовна функція на інтервалі І, причому похідна цієї функції у = f(x) також є диференційовною функцією на зазначеному інтервалі. Похідна функції f (x) називається похідною другого порядку функції f і позначається f  або f ⁽²⁾ або . Якщо f ⁽²⁾ диференційовна на інтервалі І, то похідна функції f  ⁽²⁾ називається похідною третього порядку функції f (х) і позначається f ^(2).

Приклад 1. Для функції f(x) = х⁴ + 2х³ + х + 5 знайти похідну другого порядку.

Розв’язання.

f (x) = 4х³ + 6х² + 1, f (x) = 12х² + 12

Приклад2. Знайти похідну другого порядку для функції .

Розв’язання.

.

Механічним змістом похідної другого порядку є прискорення руху матеріальної точки.

Прикла 3. Знайти швидкість та прискорення руху матеріальної точки в момент t = 2 с, яка рухається за законом: s(t) = 2t³ — 3t

Розв’язання.

s(t) = 2t³ — 3t. Як відомо механічним змістом похідної є миттєва швидкість руху матеріальної точки s^/(t)= (2t³ — 3t)^/= або 21 .

Механічним змістом похідної другого порядку є прискорення руху матеріальної точки.

Тому a(t)= v^/(t)=( )^/=12t або 24 .

№1. Знайти похідну другого порядку для функції:

а) f(x) = х³ + 7х² - 4 х +1; б)

_№2. Знайти швидкість та прискорення руху матеріальної точки в момент t , яка рухається за законом:

а) s(t) = t³ —t+1, t=1c ; б) s(t) = t —t² + , t=3c

П.2. Дослідження функції на екстремум за допомогою другої похідної

Література:

1 Є.П.Нелін, О.Є.Долгова Алгебра і початки аналізу. Дворівневий підручник для 11 класу загальноосвітніх навчальних закладів (Харків. Світ дитинства. 2006)

2. О.М.Роганін. Плани-конспекти уроків

3.М.І. Шкіль, З.І.Слєпкань. Алгебра і початки аналізу.11

Методичні вказівки:

Точка x₀ називається точкою мінімуму функції f, якщо для всіх x з деякого околу x₀ виконується нерівність (рис. 1, а, б).

Точка x₀ називається точкою максимуму функції f, якщо для всіх x з деякого околу x₀ виконується нерівність (рис. 2, а, б).

Для точок максимуму і мінімуму функції існує спільна назва — їх називають точками екстремуму. Значення функції в цих точках називають відповідно максимумами і мінімумами функції (спільна назва — екстремум функції). Точки максимуму позначають x_max, а точки мінімуму — x_min. Значення функції в цих точках позначаються відповідно y_max і y_min.

Студенти повинні вміти:

Досліджувати функцію на екстремум за допомогою другої похідної

Питання для самоконтролю:

1. Схема дослідження функції на екстремум за допомогою другої похідної.

2. В чому слабка сторона даної схеми?

Самостійне вивчення з розробкою конспекту та розв’язуванням задач.

План.

1. Схема дослідження функції на екстремум за другою похідною

Форми поточного та підсумкового контролю самостійної роботи:

1.Поточний:

• перевірка конспектів

• письмове опитування

• розв’язування задач.

2.Підсумковий:

• тематична контрольна робота

• державна підсумкова атестація