Лекційний матеріал до теми.

1.Формула площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними.

Теорема. Площа трикутника дорівнює половині добутку двох будь-яких сторін на синус кута між ними.

Доведення

Нехай трикутник ABC — даний (рис. 40).

Доведемо, що S_ΔABC = AB ∙ AC ∙ sinA.

Проведемо у трикутнику ABC висоту BD. Маємо: S_ΔАВС = AC ∙ BD.

Якщо кут А гострий, то із трикутника ABD маємо: BD = AB ∙ sinα (рис.40,а).

Якщо кут А прямий, то із трикутника DAB маємо: BD = AB ∙ sin90° = АВ.

Якщо кут А тупий (рис. 40, б), то BD = AB ∙ sin(180° - α) = ABsinα.

Отже, S_ΔABC = AB ∙ AC ∙ sinA, що і треба було довести.

Приклад 1.Знайдіть площу правильного трикутника зі стороною а.

Розв'язання

Оскільки трикутник ABC рівносторонній (рис. 1), то АВ = АС = ВС = а, A = B = C = 60°.

Рис 1 Рис 2

Тоді S = AB ∙ AC ∙ sinA = a ∙ a ∙ sin60° = ∙ = .

Відповідь. .

Слід запам'ятати цю формулу.

Приклад 2.У трикутнику ABC АС = а, ВС = b. При якому куті С площа трикутника буде найбільшою?

Розв'язання

Оскільки S = AC ∙ BC ∙ sinC = absinC, то значення S буде найбільшим, якщо sinC = 1, тобто C = 90°, тоді S = ab.

Відповідь. 90°.

Приклад3. Знайдіть площу ромба, якщо його висота дорівнює 10 см, а гострий кут становить 30°.

Розв'язання

Рис 3

Нехай у ромбі ABCD (рис. 3) BF AD, BF = 10 см, BAD = 30°. Із прямокутного трикутника ABF маємо: (см). Отже, площа ромба: S = AD ∙ BF = 20 ∙ 10 = 200 (см²).

Відповідь. 200 см².

Приклад4.Доведіть, що коли діагоналі чотирикутника перетинаються, то площа чотирикутника дорівнює половині добутку його діа­гоналей на синус кута між ними.

Розв'язання

Нехай ABCD — довільний опуклий чотирикутник (рис. 4).

Доведемо, що S_ABCD = AC∙ BD ∙ sinφ, де φ = BOC.

S_ABCD = S_ΔBOC + S_ΔAOB + S_ΔAOD + S_ΔDOC = BO ∙ OC ∙ sinφ +

+ АО ∙ BO ∙ sin(180° - φ) + АО ∙ DO ∙ sinφ + DO ∙ ОС ∙ sin(180° - φ) =

= BO ∙ OC sinφ + АО ∙ ВО ∙ sinφ + АО ∙ DO ∙ sinφ + DO ∙ OC sinφ =

= (BO ∙ OC + AO ∙ BO + AO ∙ DO + DO ∙ OC) sinφ =

= (BO ∙ (AO + OC) + DO ∙ (AO + OC)) sinφ = (BO ∙ АС + DО ∙ АС) sinφ =

= AC ∙ (BO + DO) sinφ = AC ∙ BD sinφ.

Рис 4

2. Формула площі трикутника за стороною і опущеною до неї висотою.

Рис 5 S = ah_a

3.Формула Герона

Можна знайти площу трикутника, якщо відомі три його сторони. Цю формулу одержав Герон Александрійський, давньогрецький учений, який жив в Александрії в І ст. н. є. Відомо, що він був ученим-інженером, займався геодезією і прикладною математикою.

Проведемо висоту до найбільшої сторони трикутника ABC (рис. 5). Нехай АС = b — найбільша сторона цього трикутника, АВ = с, ВС = а, BD AC. Нехай AD = х, тоді DC = b – х. Із прямокутного трикутника ABD маємо: BD² = c² – x². Із прямокутного трикутни­ка BCD маємо: BD² = а² – (b – x)². Тоді маємо рівняння с² – х² = a² – (b – х)², з якого знай­демо х. с² – х² = а² – b² + 2bx – x²; 2bx = c² + b² – a²; .

Тоді BD = = = .

Отже, S = b ∙ ВD = = =

= = =

= = =

= .

Ураховуючи, що , маємо:

S = = .

Що і треба було довести.

Приклад 1. Знайдіть площу трикутника за трьома сторонами: 17, 65, 80;

Розв'язання

S = =

= = = 288.

Відповідь. 288кв. од.

Приклад 2. Сторони трикутника дорівнюють а, b, с. Знайдіть висоту трикутника, опущену на сторону с.

Розв'язання

, .

Оскільки S = ch_c, то h_c = = .

Відповідь. .

Приклад 3. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 64 см, а його бічна сторона на 11 см більша від основи. Знайдіть висоту три­кутника, опущену на бічну сторону.

Р озв'язання

Нехай трикутник ABC (рис. 6) рівнобедрений, АВ = ВС. Нехай АС = х см, тоді АВ = ВС = (х + 11) см. Оскільки периметр дорів­нює 64 см, то маємо:

x + 11 + x + 11 + x = 64; 3х + 22 = 64; 3х = 42; х = 14. Отже, АС = 14 см, АВ = ВС = 25 см.

Оскільки = = = 7 ∙ 4 ∙ 6 = 168 (см²), S = ∙ АВ ∙ h, то h = = = = 13,44 (см). Рис 6

Відповідь. 13,44 см.