Доведення

Нехай b║a, с║а. Доведемо, що b║с .

Прямі b і с не можуть перетинатися. Інакше через точку їх перетину проходили б дві різні прямі, паралельні прямій а, що суперечило б тео­ремі 2.1. Припустимо, що прямі b і с — мимобіжні (рис. 2). Через паралель­ні прямі b і а, с і a проведемо площи­ни γ і β, а через пряму b і точку С прямої с — площину α. Нехай площини α і β перетинаються по пря­мій c₁. Прямі а, с, c₁ лежать в одній площині β , причому с║а. Тому пря­ма с₁, яка перетинає с, перетинає пря­му a в деякій точці А. Прямі c₁ і а лежать відповідно у площинах α і γ , тому їх спільна точка А належить цим площинам, а отже, і їх спільній пря­мій b. З припущення випливає, що паралельні прямі a і b мають спільну точку А, що суперечить умові.

Отже, прямі b і с не можуть ні перетинатися, ні бути мимобіжни­ми. Таким чином, b║с .

№1. Κ, Ρ,Τ, Μ — середини ребер АВ, AC, CD, DB тетраедра DABC. Знай­діть периметр чотирикутника КРТМ, якщо AD = 6 см, ВС = 8 см.

№2. Прямі АВ і CD паралельні. Чи можуть бути мимобіжними прямі АС і BD? перетинатися?

№3. Прямі АВ і CD мимобіжні. Чи можуть бути прямі АС і BD парале­льними? А перетинатися?

№4. Трикутник АВС і трапеція ABED (АВ — основа) не лежать в одній площині. Точки Μ і N — середини сторін АС і ВС відповідно. Дове­діть, що ΜΝ || DE .

№ 5. Точки К, L, Μ, Ν — середини ребер АВ, АС, CD, DB тетраедра, всі ребра якого рівні. Знайдіть довжину ребра тетраедра, якщо пе­риметр утвореного чотирикутника KLMN до­рівнює 4a (рис. 3).

Рис 3

П.2. Теореми про паралельні площини

Література:

1. О.В. Погорєлов. Геометрія 10-11

2. О.М.Роганін. Плани-конспекти уроків

Методичні вказівки:

Теорема1. Якщо дві паралельні площини перетинаються третьою, то прямі перетину паралельні або паралельні площини перетинаються січною площиною по паралельних прямих.

Рис 1

Теорема2. Якщо a₁ || a₂; А₁ Î a₁, В₁ Î a₁, А₂ Î a₂, А₁А₂ || В₁В_{2 ,} то А₁А₂ = В₁В₂.

Рис 2

Студенти повинні вміти:

Розв’язувати задачі на застосування теорем про паралельні площини

Питання для самоконтролю:

1. Сформулюйте теорему про лінії перетину двох паралельних площин третьою площиною.

2. Дві паралельні площини a і b перетинаються площиною γ по прямих а і b (рис. 3). Укажіть, які з тверджень правильні, а які — неправильні:

а) прямі а і b можуть бути мимобіжними;

б) прямі а і b обов'язково парале льні; Рис 3

в) пряма а паралельна площині b;

г) будь-яка пряма, яка лежить у площині γ , обов'язково перетинає обидві площини a і b.

3. С формулюйте теорему про властивість паралельних відрізків, які ле­жать між паралельними площинами.

4. Площини a і b паралельні (рис. 4). Паралельні прямі а і b перети­нають площину a в точках А₁, В₁, а площину b — в точках А₂, В₂. Укажіть, які з тверджень правильні, а які — неправильні:

а) А₁А₂ = В₁B₂;

б) прямі А₁B₁ і А₂В₂ паралельні;

в) прямі А₁В₂ і А₂В₁ мимобіжні;

г) прямі А₁В₂ і А₂B₁ перетинаються.

Рис 4

Самостійне вивчення з розробкою конспекту та розв’язуванням задач.

План.

1. Властивості ліній перетину двох паралельних площин третьою площиною

2. Теорема про відрізки паралельних прямих, які містяться між двома паралельними площинами

Форми поточного та підсумкового контролю самостійної роботи:

1.Поточний:

• перевірка конспектів

• усне опитування

• розв’язування задач.

2.Підсумковий:

• тематична контрольна робота

• державна підсумкова атестація