МІНІСТЕРСТВО АГРАРНОЇ ПОЛІТИКИ І ПРОДОВОЛЬСТВА УКРАЇНИ

МОГИЛІВ - ПОДІЛЬСЬКИЙ ТЕХНОЛОГО – ЕКОНОМІЧНИЙ КОЛЕДЖ

ВІННИЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО АГРАРНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

МАТЕМАТИКА

НАВЧАЛЬНО-МЕТОДИЧНИЙ КОМПЛЕКС

ДЛЯ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

2011

Зміст

1. Вступ……………………………………………………………………………………………….3

2. Програма самостійної роботи з дисципліни „Математика”……………………………………5

Тема1. Функції,  їх властивості і графіки.

3.Тема 1.1. Поняття функціональної залежності, числова функція………………………………...9

4.Тема 1.2. Неперервність функцій. Типи розривів числових функцій…………………………...15

Тема 2. Степенева, показникова і  логарифмічна функції.

5. Тема 2.3. Логарифмування та потенціювання виразів…………………………………………..20

Тема 3. Тригонометричні функції

6. Тема 3.1. Формули половинного аргументу, формули потрійного аргументу………………..23

Тема 4. Рівняння, нерівності та їхні системи.

7.Тема 4.1. Розв’язування задач, що приводять до розв’язування рівнянь та систем рівнянь…26

Тема 5. Вектори і координати

8. Тема 5.1. Вектори в просторі. Дії над векторами. Розклад вектора на складові………………43

Тема 6. Систематизація та узагальнення методів планіметрії

9. Тема 6.2. Різні формули площ трикутників………………………………………………………49

Тема 7. Паралельність та перпендикулярність прямих і площин в

просторі

10.Тема 7.1. Ознака паралельності двох прямих в просторі……………………………………….56

11.Тема 7.2. Теореми про паралельні площини……………………………………………………..58

12.Тема 7.3. Ознака перпендикулярності двох прямих в просторі………………………………..63

Тема 8. Похідна та її застосування.

13.Тема 8.1. Друга похідна функції та її механічний зміст…………………………………………67

14.Тема 8.2. Дослідження функції на екстремум за допомогою другої похідної…………………69

Тема 9. Інтеграл та його застосування

15.Тема 9.1.Правила знаходження первісної. Фізичні застосуванні первісної…………………..72

16.Тема 9.2. Поняття криволінійної трапеції……………………………………………..76

17.Тема 9.3. Застосування визначеного інтегралу в економіці, техніці, фізиці……………….80

18.Тема 9.4. Рівняння гармонійних коливань………………………………………………………..83

Тема 10. Многогранники. Об’єми та площі поверхонь многогранників

19.Тема 10.1. Вимірювання відстаней у просторі. Вимірювання кутів у просторі.

Двогранний кут………………………………………………………………………….85

Тема 11. Тіла обертання. Об’єми та площі поверхонь тіл обертання

20Тема 11.2. Розв’язування задач на комбінацію тіл………………………………………………...91

Тема 12. Елементи теорії ймовірностей і математичної статистики

21.Тема 12.1. Розв’язування комбінаторних задач…………………………………………97

Тема 13. Повторення, узагальнення  та систематизація навчального

матеріалу, розв’язування задач.

22.Тема 13.1. Арифметична та геометрична прогресії………………………………………………102

23.Література…………………………………………………………………………………………...111

24.Висновки…………………………………………………………………………………………….113

Тема 1. Функції,  їх властивості і графіки.

П.1. Поняття функціональної залежності, числова функція.

Література:

1. М.І.Шкіль. Алгебра і початки аналізу 10-11кл.

2. Нелін Є. П. Алгебра і початки аналізу: Дворівневий підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів.— 2-ге вид., виправ. і доп. — Х.: Світ дитинства

3. О.М.Роганін. Плани-конспекти уроків

4. О.С.Істер Алгебра 10 клас .Дидактичні матеріали

Методичні вказівки:

Числовою функцією з областю визначення D називається залежність, при

якій кожному числу x із множини D ставиться у відповідність єдине

число y.

Область визначення функції f — це множина тих значень, яких може на_

бувати аргумент x. Вона позначається D (f).

Область значень функції f — це множина, яка складається із всіх чисел

f (x), де x належить області визначення. Її позначають E (f).

При знаходженні області визначення слід пам'ятати:

1. Якщо функція є многочленом у = а_n хⁿ + α_n-1 x^n-1 +... + α₁x + a₀,

то D(y) = (- ; + ) = R.

2) Якщо функція має вигляд у = , де f(x) і g(x) — многочлени, то слід вважати g(x) 0 (знаменник дробу не дорів­нює 0).

3) Якщо функція має вигляд у = , то слід вважати f(x) > 0 (арифметичний квадратний корінь існує тільки з невід'ємних чисел).

Графіком функції у = f(x) називається множина всіх точок пло­щини з координатами (x;f(x)) , де перша координата «пробігає» всю область визначення функції у = f(x), а друга координата — це відповідні значення функції в точці х.

Студенти повинні вміти:

Знаходити значення функцій в конкретних точках, область визначення числових функцій, розпізнавати способи задання функцій.

Питання для самоконтролю:

1.Що таке функція?

2. Яка функція називається числовою? Аргумент функції.

3. Що таке область визначення функції? Множина значень функції.

4. Способи задання функції

Самостійне вивчення з розробкою конспекту та розв’язуванням задач.

План.

1. Історія виникнення поняття функції.

2. Поняття функціональної залежності.

3. Числова функція. Область визначення функції.

4. Способи задання функції

Форми поточного та підсумкового контролю самостійної роботи:

1. Поточний:

• перевірка конспектів

• усне опитування

• розв’язування задач.

2. Підсумковий:

• тематична контрольна робота

• державна підсумкова атестація

Лекційний матеріал до теми.

1.Історія виникнення поняття функції.

Поняття функції виникло в математиці порівняно недавно. Для того щоб збагнути доцільність його введення й одержати перші доволі чіткі означення, знадобилися зусилля видатних математиків багатьох поколінь. Революційні зміни в математиці, що відбулися в ХVІІ столітті, готували своїми працями вчені різних країн і народів. Але передусім варто назвати імена П. Ферма (1601—1665), Р. Декарта (1596—1650), І. Ньютона (1643—1727), Г. В. Лейбніца (1646—1716).

Необхідні передумови для формування поняття функції було створено в 30-х роках ХVII століття, коли виникла аналітична геометрія, яка на відміну від класичної геометрії Стародавньої Греції активно залучала алгебру до розв’язування геометричних задач. Практично одночасно (і незалежно один від одного) французькі математики П. Ферма і Р. Декарт помітили, що завдяки введенню системи координат на площині і заданню фігур їхніми рівняннями можна розв’язання багато задач геометрії звести до дослідження рівнянь геометричних фігур. На честь Декарта, який дав розгорнутий виклад нового методу в книгах «Геометрія» і «Міркування про метод», прямокутну систему координат пізніше було названо декартовою. Зауважимо, що одночасно формувалася й алгебра, створювалося саме те «буквене числення», за допомогою якого нині перетворюють алгебраїчні вирази, розв’язують рівняння, текстові задачі і т. ін.

Великий англійський математик і фізик І. Ньютон, дослі­джуючи залежності координат точки, що рухається, від часу, фактично вже досліджував функції. Хоча не Ньютон увів це поняття, він чітко усвідомлював його значення. Так, у 1676 році вчений зазначав: «Я не міг би, вочевидь, здобути ці загальні результати, аби не відвернувся від розгляду фігур і не звів усе просто до дослідження ординат» (тобто фактично функцій від часу).

Сам термін «функція» вперше вжив великий німецький математик і філософ Г. В. Лейбніц — спочатку в рукопису (1673), а потім і в друкованому вигляді (1692). Латинське слово function перекладається як «здійснення», «виконання» (дієслово fungor означає «виражати»). Лейбніц увів поняття функції, щоб схарак­теризувати різні параметри, позв’язані з положенням точки на площині. Згодом Лейбніц і його учень Й. Бернуллі (1667—1748) прийшли до розуміння функції як аналітичного виразу й у 1718 році подали таке означення: «Функцією змінної величини називається кількість, складена в який завгодно спосіб з цієї змінної та сталих».

Л. Ейлер у своїй книзі «Вступ до аналізу» (1748) сформу­лював означення функції так: «Функція змінної кількості — це аналітичний вираз, складений у деякий спосіб із цієї змінної кількості та чисел або сталих кількостей».

Ейлер упровадив і застосовувані нині позначення для функцій.

Сучасне означення числової функції, в якому це поняття вже не пов’язувалося способом задання, дали незалежно один від одного російський математик М. І. Лобачевський (1834) і німецький математик Л. Діріхле (1837). Основна ідея такого означення полягала ось у чому: не істотно, в який спосіб (це може бути будь-яке правило, не лише аналітичний вираз) кожному х поставлено у відповідність певне значення у, важливо тільки, що цю відповідність установлено.

Сучасне поняття функції з довільними областями визначення і значень сформувалося, власне кажучи, зовсім недавно, на початку ХХ століття, у працях творця теорії множин Г. Кантора (1845—1918).

Складний і дуже тривалий шлях розвитку поняття функції доволі типовий. Для того щоб усвідомити необхідність уведення нового абстрактного поняття, потрібно виокремити його в процесі розв’язування багатьох конкретних задач і дати означення, що якнайчастіше відбиває його зміст.

До поняття функції математики йшли, відштовхуючись від конкретних задач математики та її застосування. Це відбувалося в процесі створення нового могутнього апарата досліджень — інтегрального і диференціального числення. Відкриття інтегрального і диференціального числення, центральним поняттям якого Ейлер назвав функцію («Увесь аналіз нескінченного обертається навколо змінних кількостей і їхніх функцій»), розширило можливості математики.

2. Поняття функціональної залежності.

Процеси реального світу тісно пов'язані між. собою. Серед різноманіття явищ вчені виділили такі, у яких взаємозв'язок величин настільки тісний, що, знаючи значення однієї з них, можна визначити значення другої величини.

Наприклад, знаючи сторону квадрата, можна знайти його площу або периметр.

Залежність змінної у від змінної х, при якій кожному значенню χ відповідає єдине значення у, називається функцією.

З поняттям функції ви познайомилися в курсі алгебри неповної школи. По­няття функції є важливим поняттям курсу алгебри і початків аналізу, отже, ми повинні згадати і узагальнити відомості про функції. Крім того, досліджуючи властивості функцій, ми має­мо можливості ґрунтовніше пізнати реальний світ.