Задача 3*
Через точку провели перпендикуляри до граней гострого двогранного кута. Доведіть, що гострий кут між ними дорівнює лінійному куту двогранного кута.
Р
озв’язання
Нехай дано двогранний кут з ребром а і гранями α і β (рис. 9). Проведемо через точку S SB α, SA β. Прямі SA і SB визначають площину, яка буде перпендикулярна як до площини α, так і до площини β, тобто ця площина буде перпендикулярна до а, і кут АСВ буде лінійним кутом даного двогранного кута.
SOA
СОВ
(оскільки <СОВ = <SOA
– як вертикальні,
<СВО = <SAО = = 90º); отже, <ОSA = <OCA.
Задача 4*
Д
оведіть,
що синус кута, утвореного прямою, яка
лежить у площині однієї із граней
двогранного кута, з іншою гранню, дорівнює
добутку синуса двогранного кута на
синус кута, який утворює дана пряма з
ребром двогранного кута (теорема про
три синуси).
Розв’язання
Нехай дано двогранний кут із гранями φ і ω, АС ω, <ABC = α – лінійний кут, <ADC = γ, <ADB = β (рис. 10). Доведемо, що sinγ = sinαsinβ. Нехай AD = x, тоді ΔADB AB = xsinβ; із ΔABC AC = ABsinα = xsinβsinα; із ΔADC
.
Отже, маємо: sinγ = sinαsinβ.
Побудуйте лінійний кут двогранного кута з ребром АС, якщо:
а) АВ = ВС, РВ (АВС) (рис. 11);
б) ΔАВС – правильний, точка О – точка перетину медіан, РО (АВС) (рис. 12);
в) ΔАВС —правильний, ВО = ОА, РО (АВС) (рис. 13).
На грані двогранного кута, величина якого α , дано точку, яка віддалена від ребра на відстань а. Знайдіть відстань від цієї точки до другої грані. (Відповідь. α sinα.)
Точка А належить одній із граней двогранного кута, а її відстань від другої грані дорівнює
см.
Знайдіть величину двогранного кута,
якщо відстань від точки А до його
ребра дорівнює 2 см. (Відповідь.
60°.)Знайдіть величину двогранного кута, якщо точка, взята на одній із граней, знаходиться від ребра вдвічі далі, ніж від другої грані. (Відповідь. 30°.)
Знайдіть величину двогранного кута, якщо точка, взята на одній із граней, знаходиться від ребра втричі, далі, ніж від другої грані.
(Відповідь. arcsin .)
Точка А знаходиться від граней прямого двогранного кута на відстанях а і b. Знайдіть відстань від точки А до ребра двогранного кута.
(Відповідь.
.)
На гранях двогранного кута взято дві точки, які знаходяться від його ребра на відстанях а і b. Перша з них знаходиться від другої Грані на відстані с. Знайдіть відстань від другої точки до протилежної грані. (Відповідь.
.)Дано два двогранні кути, у яких одна грань спільна, а дві інші грані є різними півплощинами однієї площини. Доведіть, що сума цих двогранних кутів дорівнює 180°.
Тема 11. Тіла обертання. Об’єми та площі поверхонь тіл обертання
П.1. Розв’язування задач на комбінацію тіл.
Література:
1 Г.Н.Погорєлов .Геометрія. 10 - 11 к.
2. Г.М. Литвиненко. Збірник завдань для державної підсумкової атестації. Геометрія
3.О.М.Роганін. Плани-конспекти уроків
4. Л.М.Лоповок. Геометрія.
Методичні вказівки:
Не в кожний многогранник можна вписати кулю (наприклад, серед прямокутних паралелепіпедів описаним навколо кулі може бути лише куб).
Якщо у пряму призму можна вписати кулю, то в її основи можна вписати кола, причому центром вписаної кулі є середина відрізка, що сполучає центри кіл, вписаних в основи.
Навколо конуса можна описати кулю, причому центр кулі належить висоті конуса або її продовженню;
Навколо циліндра можна описати кулю, причому центр її збігається з серединою осі циліндра;
Навколо зрізаного конуса можна описати кулю, причому центр кулі лежить на осі зрізаного конуса;
У циліндр, конус, зрізаний конус можна вписати кулю тоді і тільки тоді, коли в осьовий переріз цих фігур можна вписати коло, причому центр кулі збігається з центром цього кола;
У циліндр можна вписати кулю тоді і тільки тоді, коли він рівносторонній (осьовий переріз — квадрат), причому центр вписаної кулі — середина відрізка, що сполучає центри основ циліндра, а її радіус дорівнює радіусу основи циліндра;
У конус можна вписати кулю, причому її центр — точка перетину бісектрис осьового перерізу конуса;
У зрізаний конус можна вписати кулю тоді і тільки тоді, коли сума радіусів основ конуса дорівнює його твірній, причому центр вписаної кулі — середина відрізка, що сполучає центри основ зрізаного конуса.
Крім розглянутих, можливі й інші комбінації геометричних тіл (циліндр і піраміда, конус і призма, призма і піраміда, кульовий сегмент і піраміда та інші).
Як правило, взаємне розміщення геометричних тіл у таких комбінаціях задається умовою задачі, що й обумовлює в кожному конкретному випадку спосіб пояснення.
Студенти повинні вміти:
Розв’язувати задачі на комбінацію геометричних тіл
Питання для самоконтролю:
1) Який многогранник називається вписаним в інший многогранник?
2) Яка піраміда називається вписаною в циліндр?
3) Яка призма називається вписаною в циліндр?
4) Який циліндр називається вписаним у піраміду?
5) Яка піраміда називається описаною навколо конуса?
6) ) Яка точка є центром кулі, описаної навколо многогранника?
7) Чому дорівнює діаметр кулі, вписаної в пряму призму?
8) 1) Яка куля називається вписаною в конус?
9) Яка куля називається описаною навколо циліндра?
10) Чому дорівнює відношення об'ємів кулі і описаного навколо неї циліндра?
Самостійне вивчення з розробкою конспекту та розв’язуванням задач.
План
1. Комбінації многогранників
2.Комбінації многогранників і циліндра
3. Комбінації многогранників і конуса
4.Комбінації многогранників і кулі
5. Комбінації тіл обертання
Форми поточного та підсумкового контролю самостійної роботи:
1.Поточний:
перевірка конспектів
розв’язування задач.
2.Підсумковий:
контрольна робота
державна підсумкова атестація