Лекційний матеріал до теми

1.Арифметична прогресія

Арифметична прогресія — числова послідовність, у якій кожний наступний член, починаючи з другого, дорівнює попе­редньому члену, до якого додається те саме число. Це число називають різницею арифметичної прогресії.

Приклад. 1; 3; 5; 7; 9 — арифметична прогресія.

3 – 1 = 5 – 3 = 7 – 5 = 9 – 7 = 2; 2 — різниця арифметичної про­гресії.

Рекурентна формула арифметичної прогресії

а_п+1 = а_п + d, d — різниця арифметичної прогресії.

d = a_п+1 – а_п.

Властивості арифметичної прогресії

1. , де п >1

а_п — п-й член арифметичної прогресії, є середнім арифме­тичним двох сусідніх за ним членів.

2. Якщо (а_п) — арифметична прогресія (скінченна), то:

Сума двох членів скінченної арифметичної прогресії, які рівновіддалені від її кінців дорівнює сумі крайніх членів цієї прогресії.

3. Теорема. Будь-яка арифметична прогресія (а_п) може бути задана формулою a_n = kn + b, де k і b — деякі числа; і на­впаки, якщо послідовність (а_п) задана формулою a_n = kn + b, де k і b — деякі числа, то ця послідовність є арифметичною прогресією.

2.Формула n-го члена арифметичної прогресії

де a_n — п-й член арифметичної прогресії;

а₁ — перший член арифметичної прогресії;

d — різниця арифметичної прогресії;

п — номер члена арифметичної прогресії.

Приклад. Знайдемо а₉, якщо (а_п) — арифметична прогре­сія, перші члени якої: 7,8; 8,9; 10; ....

Розв'язання

Знайдемо різницю арифметичної прогресії, у якої а₁ = 7,8; a₂ = 8,9;

a₃ = 10: d = a₃ – a₂ = 10 – 8,9 = 1,1.

Формула п-го члена арифметичної прогресії має вигляд a_n = a₁ + d(n – 1).

Враховуючи, що а₁ = 7,8, d = 1,1, маємо: а_п = 7,8 + 1,1(п – 1).

Отже, а₉ = 7,8 + 1,1(9 – 1) = 7,8 + 8,8 = 16,6.

Відповідь: а₉ = 16,6.

3. Сума перших п членів арифметичної прогресії

1. Якщо a₁ і a_n — перший і п-й члени арифметичної прогре­сії (а_n), то сума S_n перших п членів цієї прогресії дорівнює:

2. Якщо a₁ і d — перший член і різниця арифметичної про­гресії (а_п), то сума S_n перших п її членів дорівнює: