- •Специальные главы механики деформируемых тел
- •Введение
- •Глава 1. Деформации и напряжения в тонкой пластине
- •Основные понятия и гипотезы
- •Перемещения и деформации в пластинке
- •Напряжения в пластинке
- •Усилия в тонкой пластинке
- •5. Вывод уравнений равновесия пластинки
- •Глава 2. Уравнения равновесия тонкой пластины
- •Формулировка граничных условий
- •Изгиб круглой пластинки
- •Глава 3. Равновесие прямоугольной пластины
- •Глава 4. Прочность пластин. Применение вариационных принципов к расчету пластин
- •Энергия тонкой пластинки
- •2. Критерий прочности тонкой пластинки
- •3. Деформационный критерий несущей способности пластин
- •4. Вариационные принципы при расчете пластин
- •5. Пример расчета пластинки с использованием принципа минимума энергии деформации
- •Глава 5. Сложное напряженное состояние деформируемых тел
- •1. Свободная энергия стержня в общем случае нагружения
- •2. Теорема Кастилиано
- •3. Интеграл Мора
- •Глава 6. Упругопластическое кручение и изгиб стержня
- •Условия пластичности. Состояние пластичности
- •Идеальная пластичность
- •Упругопластический изгиб призматического бруса
- •Упругопластическое кручение круглого бруса
- •Кручение некруглых стержней
- •Глава 7. Исследование напряженного состояния
- •Напряжения в наклонном сечении при растяжении (одноосное напряженное состояние).
- •Двуосное напряженное состояние.
- •Плоское напряженное состояние.
- •4. Главные напряжения.
- •5. Круг Мора для двуосного напряженного состояния
- •Круг Мора для плоского напряженного состояния
- •Деформация при двуосном напряженном состоянии
- •Глава 8. Основы механики разрушения
- •1. История и литература. Исходная задача об эллиптическом отверстии.
- •2. Энергия деформации пластинки с отверстием и коэффициент интенсивности напряжений
- •3. Критическое равновесие трещины
- •4. Схема расчета на трещиностойкость
- •5. Учет пластической зоны
- •6. Учет конечности размеров пластины
- •7. Экспериментальное определение коэффициента интенсивности напряжений
- •Заключение
- •Рекомендуемый библиографический список
- •Содержание
- •Специальные главы механики деформируемых тел
- •680021, Г. Хабаровск, ул. Серышева, 47.
Глава 8. Основы механики разрушения
Предмет механики разрушения – изучение условий равновесия и распределения макротрещин внутри нагруженных элементов конструкций. Другое название – механика трещин.
Линейная механика разрушения применима, если зона пластических деформаций у острия трещины мала по сравнению с длиной трещины.
Схема главы:
1. История и литература.
2. Исходная задача об эллиптическом отверстии.
3. Зависимости напряжений и перемещений от координат.
4. Энергия деформации пластинки с отверстием и коэффициент интенсивности напряжений.
5. Модель Гриффитса и критическое равновесие трещины. Энергетическое и силовое условие распространения трещины.
6. Эффективная длина трещины. Учет пластической зоны.
1. История и литература. Исходная задача об эллиптическом отверстии.
К данной теме рекомендуется литература:
1. Александров, А. В. Основы теории упругости и пластичности / А. В. Александров, В. Д. Потапов. – М., 1990.
2. Партон, В. З. Механика упруго-пластического разрушения / В. З. Партон, Е. М. Морозов. – М. : Наука, 1974.
3. Черепанов, Г. М. Механика хрупкого разрушения / Г. М. Черепанов. – М. : Наука, 1974.
4. Справочник по сопротивлению материалов / Г. С. Писаренко [и др.]. – Киев, 1988.
Начало исследований трещин положено работой А.А. Гриффитса «Явление разрушения и течения в твердых делах» (1920).
Он рассматривал историю развития сквозной трещины в пластине бесконечной длины и единичной толщины в условиях линейного напряженного состояния. Трещина моделировалась эллиптическим отверстием с малым << 1.
Т ребовалось найти, при каком внешнем напряжении , приложенном к концам пластины на бесконечности, трещина с начальной длиной 2l станет неустойчивой, т. е. начнет распространяться при неизменном . Прежде чем решать эту задачу, надо найти распределение напряжений вокруг трещины.
Рис. 25. Классическая и современная постановка задачи о трещине
Задача в виде дифференциального уравнения:
Здесь называется функцией напряжений Эри. Уравнение (1) должно быть дополнено краевыми условиями:
При
При y=0, (2)
Если эту задачу решить, то при в окрестности конца трещины x = l в полярных координатах получим распределение напряжений, которое показано на рис. 26.
Рис. 26. Распределение напряжений в окрестности конца трещины
Здесь KI называется коэффициентом интенсивности напряжений. v – перемещение верхнего берега трещины. Форму трещины Гриффитс аппроксимировал вытянутым эллипсом.
Формулы для напряжений в окрестности трещины:
(3)
Различают плоское напряженное состояние t << l, где t – толщина пластины (для тонких пластин), ; и плоское деформированное состояние (для толстых плит (t >> l)),
за счет эффекта Пуассона.
В формулах (3) значения коэффициента :
Эти соотношения выполнены: 1 – для тонкой пластины; 2 – для толстой плиты.
2. Энергия деформации пластинки с отверстием и коэффициент интенсивности напряжений
Коэффициент интенсивности напряжений:
KI – трещина отрыва (рассмотренный случай);
KII – трещина сдвига;
KIII – трещина антиплоского сдвига.
П ри (задача Гриффитса) выполняется P
формула:
.
В случае расклинивания силой Р:
.
Р
Вычислим изменение энергии пластины, вызванное раскрытием трещины на длину dl (см. рис. 3).
Рис. 27. К вычислению энергии при раскрытии трещины
Раскрытие трещины вызывает снятие напряжений , на участке dl. Тогда изменение энергии dU равно работе сил в процессе «закрытия» трещины, взятой с обратным знаком:
,
поскольку перемещение удваивается. Силы работы не совершают, так как перемещение . При
.
Каждой точке поля раскрытия трещины соответствует перемещение относительно О1, т. е. с и углом , т. е.
Отсюда изменение энергии пластины
– (4)
скорость высвобождения энергии.
Обозначим
– трещинодвижущая обобщенная сила.
(а) Плоское деформируемое состояние (толстая плита):
(б) Плоское напряженное состояние (тонкая пластина):
Оказывается, можно найти непосредственно, независимо от KI.
Доказано, что
где r – произвольный контур, охватывающий острие трещины:
Рис. 28. К вычислению трещинодвижущей силы
U0 – плотность энергии деформаций (из решения задачи теории упругости); Xn, Yn – компоненты интенсивности внутренних сил на контуре с нормалью n (вектор).
После вычисления определяют KI: