2. Упругопластическое кручение круглого бруса

Предполагая, что поперечные сечения остаются плоскими и за пределами упругости, получим для касательных напряжений

, – расстояние от центра.

Тогда

Из условия Губера-Мизеса-Генки

.

Определение. Величина в случае кручения называется пределом текучести при сдвиге.

Условие пластичности:

,

так как по определению.

Зависимость напряжений от расстояния до оси при идеальной пластичности:

при

при .

– радиус упругого ядра.

Зная , можно из условия

найти .

Эпюра напряжений изображена на рис. 18.

Рис. 18. Напряжения в брусе при кручении

Два предельных состояния: предел упругого деформирования, когда ; предел пластического деформирования, .

– предельный момент, все сечение в пластическом состоянии.

Получим формулу для . Касательные напряжения не зависят от и уравновешивают внешний момент :

.

Пусть – площадь упругой и пластической зон.

Интегралы равны

;

;

При , т. е. когда весь стержень в пластическом состоянии:

.

2. Кручение некруглых стержней

Рассмотрим тонкий прямой стержень любого сечения. Ось направим вдоль стержня через центр тяжести сечения. Определим угол кручения как угол поворота, отнесенный к единице длины, т. е. если два бесконечно близких сечения поворачиваются на угол , то .

Деформации малы, но угол может быть большим.

При повороте сечения на угол смещение конца радиус-вектора точки определяются по формуле

. (1)

Рис. 19. Поворот сечения и изменение радиус-вектора

– вектор, направленный вдоль и .

Для точек с координатой

. (2)

Тогда перемещения точек равны из (1):

, . (3)

Для малых деформаций можно считать, что смещение точек вдоль пропорционально

. (4)

– функция кручения.

То есть каждое сечение поворачивается вокруг , искривляясь.

Зная перемещения, из соотношений Коши найдем деформации:

;

;

.

Из закона Гука напряжения равны:

;

Отсюда получим уравнение равновесия:

или , так как .

Для полного решения задачи надо найти и угол кручения . В наиболее типичном случае к концам стержня приложены равные и противоположно направленные моменты . При этом и ~ . Обычно принимают соотношение , где называется крутильной жесткостью стержня.

Для круглого стержня:

.

Для эллиптического стержня с полуосями :

.

Для стержня в виде длинной тонкой пластинки (ширина , толщина ):

.

Дополнительные формулы и определения:

;

;

на контуре сечения (односвязном!).

– жесткость.

– свободная энергия.

Глава 7. Исследование напряженного состояния

1. Напряжения в наклонном сечении при растяжении (одноосное напряженное состояние).

^а

^б

Рис. 19. Площадки и силовые факторы

В сечении (mn) , где – сила, – площадь. При этом – главное напряжение.

Пусть сечение (pq) под углом к (mn). Равнодействующая сил , распределенных по (pq), равна , так как стержень в равновесии. площадь (pq) равна . Силу разложим на нормальную и касательную :

, .

Напряжения по определению равны:

.

При нормальное напряжение максимально: .

При касательное напряжение максимально: .