3. Интеграл Мора

При расчете перемещений стержневой системы теорему Кастилиано нельзя использовать в случае, если в той точке, перемещение которой надо найти, не приложена внешняя сила. Для расчета таких систем существует метод интеграла Мора.

Алгоритм этого метода состоит в следующем.

А. в той точке системы, в которой надо определить перемещение, прикладываем фиктивную силу Р1 в интересующем нас направлении.

Б. составляем выражение для потенциальной энергии деформации U с учетом силы Р1.

В. Составляем производную для всей системы.

Г. Кладем , при этом получаем значение

Пример. Определить горизонтальное перемещение точки А консоли. Жесткость равна EI.

Рис. 12. Изгиб искривленной консоли

Приложим фиктивную силу Ф в точке А. Рассмотрим только изгибные перемещения. При этом M_z = M_y = 0.

Изгибающий момент от Р:

на АВ: М_р = 0;

на СВ: М_р = P_z;

на CD:

Момент силы Ф:

СВ:

M_x = P_z;

CD:

Отсюда получим

Знак минус говорит о том, что A направлено против силы Ф, т. е. влево. Отличный от нуля интеграл примера

называется интегралом Мора.

М₁ – момент от единичной силы, приложенный в нужной точке.

Глава 6. Упругопластическое кручение и изгиб стержня

1. Условия пластичности. Состояние пластичности

Пластичностью называется свойство твёрдого тела изменять под внешними воздействиями, не разрушаясь, свою форму и размеры и сохранять остаточные (пластические) деформации после устранения этих воздействий [5]. Закон Гука при растяжении стержня выполняется только до определенного значения деформации , после чего стержень переходит в пластическое состояние и деформируется нелинейно (рис. 13).

При разных условиях нагружения нужно пользоваться различными условиями перехода твердого тела в пластическое состояние.

а) простое растяжение:

Рис. 13. Диаграмма растяжения

– условие пластичности.

– при растяжении.

– предел текучести при растяжении;

б) чистый сдвиг:

– условие пластичности при чистом сдвиге.

– предел текучести;

в) сложное напряженное состояние

1. Условие Сен-Венана.

Тело переходит в пластическое состояние, когда максимальное касательное напряжение становится равным :

,

,

где .

Отсюда получим условие:

.

– главные напряжения.

2. Условие Губера-Мизеса-Генки.

Интенсивность касательных напряжений для данного материала достигает критической

Отсюда можно получить:

.

3. Идеальная пластичность

При гипотезе об идеальной пластичности предполагается, что после перехода в пластическое состояние напряжения в материале остаются постоянными. Это отражает диаграмма на рис. 14.

Рис. 14. Диаграмма растяжения идеального пластического тела

при

при .

2. Упругопластический изгиб призматического бруса

Рассмотрим чистый изгиб призматического бруса. Найдем, какая часть бруса будет находиться в пластическом состоянии после приложения внешней нагрузки.

а

б

Рис. 15. Изгиб призматического бруса

При чистом изгибе .

Считаем, что и в зоне пластичности выполняется то же соотношение. Тогда есть точка , в которой

;

при имеем пластическое состояние.

Две зоны: упругости и пластичности. При идеальной пластичности в пластической зоне

.

Возможны два предельных состояния:

а) предел упругого деформирования:

только в точке .

Внешний изгибающий момент в этом случае равен:

, – момент сопротивления;

б) предел пластического деформирования:

во всех точках.

Рис. 16. Поперечное сечение стержня

Это происходит при условии:

– пластический момент сопротивления.

Рис. 17. Эпюры напряжений в предельных состояниях