Глава 4. Прочность пластин. Применение вариационных принципов к расчету пластин

1. Энергия тонкой пластинки

При , формула для удельной энергии деформации принимает вид [7]:

. (1)

Вспоминая формулы для напряжений и деформаций

;

;

;

; ;

,

получим

. (2)

Энергия всей пластинки:

.

Потенциальная энергия растянутого стержня:

. (3)

2. Критерий прочности тонкой пластинки

Так как простое вычисление компонент тензора напряжений не дает верной оценки прочности твердого тела, то для пластин надо, по аналогии с теориями прочности стержней, вводить критерии прочности. По аналогии с четвертой теорией прочности, будем считать, что энергия деформации пластинки не должна превышать предельную энергию деформации стержня при испытании на растяжение.

Это означает, что условие прочности, исходя из формулы (3), должно иметь вид:

, (4)

где – удельная энергия пластины, вычисленная по формуле (2), – предельное напряжение.

Еще несколько других критериев приведено в книге [4].

Отсюда можно получить алгоритм расчета пластин на прогиб и прочность с использованием ЭВМ.

1. Разбить пластину сеткой по координатам , с шагами , соответственно.

2. В точках сетки из решения краевой задачи равновесия пластины находим прогибы каким-либо численным методом.

3. Вычисляем по алгоритмам численного дифференцирования значения , , , , , в точках сетки. Находим удельную потенциальную энергию по формуле (2).

4. Строим нужные графики, находим критическую точку с максимальной энергией деформации .

5. Проверяем условие прочности (4) в найденной точке.

3. Деформационный критерий несущей способности пластин

В литературе критерии прочности пластин принято называть критерием несущей способности. В книге [4] приведен один из современных критериев: деформационный. Он выводится из условия того, что максимальные деформации удлинения не должны превышать некоторую предельную величину:

, (5)

– предел допустимых удлинений при растяжении. Вывод (5) основан на вычислении главных деформаций

,

по аналогии с главными напряжениями

.

Подставим в (5) закон Гука для пластин:

;

и учтем связь изгибающих и крутящих моментов в пластине с напряжениями:

Получим деформационный критерий несущей способности пластины, выраженный через изгибающие и крутящий моменты и предельное напряжение :

(6)

4. Вариационные принципы при расчете пластин

При исследовании задач теории упругости часто используют вариационные методы. Варьирование функции – операция, похожая на дифференцирование. Подробно об этой операции можно узнать из [2]. Вариационные методы часто называют энергетическими, потому что они основаны на понятиях работы сил и энергии деформации.

Принцип возможных перемещений: разность между работой внешних сил и полной энергией деформации твердого тела минимальна только на действительном перемещении этого тела.

Математически это означает, что деформация тела, имеющая место в действительности, минимизирует разность:

(7)

При изгибе пластинки работа внешних сил равна:

, – внешняя нагрузка, – прогиб пластинки. Потенциальная энергия получается после интегрирования по всей площади пластинки:

Если выбрать вид функции прогиба:

где – известные функции, удовлетворяющие граничным условиям, то условие минимальности примет вид:

(8)

После этих выкладок становится ясен алгоритм решения задачи о равновесии пластинки (метод Ритца).

1. Задаем базисные функции .

2. Находим выражения для .

3. Из условия (8) получим уравнений для неизвестных коэффициентов . Это будут линейные алгебраические уравнения.

4. Найдем и подставим в выражения для прогиба пластины , решив тем самым задачу.

Подробно этот метод изложен в учебнике [5].