- •Специальные главы механики деформируемых тел
- •Введение
- •Глава 1. Деформации и напряжения в тонкой пластине
- •Основные понятия и гипотезы
- •Перемещения и деформации в пластинке
- •Напряжения в пластинке
- •Усилия в тонкой пластинке
- •5. Вывод уравнений равновесия пластинки
- •Глава 2. Уравнения равновесия тонкой пластины
- •Формулировка граничных условий
- •Изгиб круглой пластинки
- •Глава 3. Равновесие прямоугольной пластины
- •Глава 4. Прочность пластин. Применение вариационных принципов к расчету пластин
- •Энергия тонкой пластинки
- •2. Критерий прочности тонкой пластинки
- •3. Деформационный критерий несущей способности пластин
- •4. Вариационные принципы при расчете пластин
- •5. Пример расчета пластинки с использованием принципа минимума энергии деформации
- •Глава 5. Сложное напряженное состояние деформируемых тел
- •1. Свободная энергия стержня в общем случае нагружения
- •2. Теорема Кастилиано
- •3. Интеграл Мора
- •Глава 6. Упругопластическое кручение и изгиб стержня
- •Условия пластичности. Состояние пластичности
- •Идеальная пластичность
- •Упругопластический изгиб призматического бруса
- •Упругопластическое кручение круглого бруса
- •Кручение некруглых стержней
- •Глава 7. Исследование напряженного состояния
- •Напряжения в наклонном сечении при растяжении (одноосное напряженное состояние).
- •Двуосное напряженное состояние.
- •Плоское напряженное состояние.
- •4. Главные напряжения.
- •5. Круг Мора для двуосного напряженного состояния
- •Круг Мора для плоского напряженного состояния
- •Деформация при двуосном напряженном состоянии
- •Глава 8. Основы механики разрушения
- •1. История и литература. Исходная задача об эллиптическом отверстии.
- •2. Энергия деформации пластинки с отверстием и коэффициент интенсивности напряжений
- •3. Критическое равновесие трещины
- •4. Схема расчета на трещиностойкость
- •5. Учет пластической зоны
- •6. Учет конечности размеров пластины
- •7. Экспериментальное определение коэффициента интенсивности напряжений
- •Заключение
- •Рекомендуемый библиографический список
- •Содержание
- •Специальные главы механики деформируемых тел
- •680021, Г. Хабаровск, ул. Серышева, 47.
3. Критическое равновесие трещины
Для продвижения трещины на длину dl (см. рис. 27) должны быть разрушены внутренние связи в материале пластины. Гриффитс предложил выразить работу по их разрушению в виде:
, где – площадь поверхности при единичной ширине, – константа материала; коэффициент 2 – потому что два берега трещины.
В общем случае , где R – сопротивление росту трещины.
С другой стороны, по закону сохранения энергии dA = –dU, откуда или, учитывая исправленное выражение для из (4):
, (5)
где R – константа материала, равная 2 .
Равенство называют энергетическим критерием роста трещины. С другой стороны, величину называют критическим коэффициентом интенсивности напряжений, а равенство – силовым критерием роста трещины.
Поскольку напряжения при выражается формулой то силовой критерий в случае растяжения пластины
Кривая критического разрушения .
Рис. 29. Кривая разрушения, связывает приложенное напряжение и допустимую длину трещины
4. Схема расчета на трещиностойкость
Цель расчета на трещиностойкость – построение кривой критического разрушения:
а) определяем тип пластины (t << l или t >> l), т. е. формулу для . Плоское напряженное состояние или плоское деформируемое состояние;
б) определяем по таблицам для материала пластины;
б1) вычисляем :
– пнс, – пдс;
в) вычисляем
г) по формуле строим искомую кривую. Результат – кривая критического разрушения, определение безопасной зоны.
5. Учет пластической зоны
Все рассуждения выше относятся к квазихрупкому разрушению, когда .
Но реально всегда есть расстояние rT, на котором – предел текучести. Это пластическая зона. Найдем rT при
Поскольку для бесконечной пластины, то найдем
Определим эффективную длину трещины:
Уточним значение коэффициента интенсивности напряжений:
Поскольку rT зависит от KI, имеем неявную формулу
Это уравнение можно решить численно методом Ньютона относительно .
6. Учет конечности размеров пластины
Обычно пишут , где fI – поправочный коэффициент. Ниже рассмотрены случаи различных трещин и приведен поправочный коэффициент .
А. Наклонная трещина
, – угол наклона трещины.
Б. Односторонняя трещина
В. Пластина шириной 2В с поперечной трещиной посередине:
Г. Цилиндрическая труба диаметром 2R и толщиной H под внутренним давлением p при продольной трещине.
Другие виды трещин – в справочнике [3]. Формула для KI с учетом пластической зоны:
Напомним, что критический коэффициент интенсивности напряжения является константой материала:
силовой критерии разрыва
7. Экспериментальное определение коэффициента интенсивности напряжений
Рассмотрим следующую схему нагружения:
Рис. 30. Эксперимент с подращиваемой трещиной.
Точка приложения силы Р может свободно перемещаться. При продвижении трещины на dl меняется не только энергия деформации пластины dU, но и потенциал внешних сил П, что вызвано перемещением точки приложения Р.
Пусть при Р = 1 перемещение (податливость точки приложения Р). Тогда – по определению (закон сохранения энергии). Коэффициент возник из-за рассмотрения половины трещины. Изменение потенциала внешних сил . Отсюда следует
Теперь можно сформулировать метод определения коэффициента интенсивности напряжений.
А. Численно (методом конечных элементов для задачи теории упругости в перемещениях) или экспериментально (на образце с подращиваемой трещиной) строится зависимость .
Б. Находим численно , откуда
Таким образом, на основании найденного экспериментально коэффициента интенсивности напряжений можно судить о трещиностойкости модельного образца.