- •Специальные главы механики деформируемых тел
- •Введение
- •Глава 1. Деформации и напряжения в тонкой пластине
- •Основные понятия и гипотезы
- •Перемещения и деформации в пластинке
- •Напряжения в пластинке
- •Усилия в тонкой пластинке
- •5. Вывод уравнений равновесия пластинки
- •Глава 2. Уравнения равновесия тонкой пластины
- •Формулировка граничных условий
- •Изгиб круглой пластинки
- •Глава 3. Равновесие прямоугольной пластины
- •Глава 4. Прочность пластин. Применение вариационных принципов к расчету пластин
- •Энергия тонкой пластинки
- •2. Критерий прочности тонкой пластинки
- •3. Деформационный критерий несущей способности пластин
- •4. Вариационные принципы при расчете пластин
- •5. Пример расчета пластинки с использованием принципа минимума энергии деформации
- •Глава 5. Сложное напряженное состояние деформируемых тел
- •1. Свободная энергия стержня в общем случае нагружения
- •2. Теорема Кастилиано
- •3. Интеграл Мора
- •Глава 6. Упругопластическое кручение и изгиб стержня
- •Условия пластичности. Состояние пластичности
- •Идеальная пластичность
- •Упругопластический изгиб призматического бруса
- •Упругопластическое кручение круглого бруса
- •Кручение некруглых стержней
- •Глава 7. Исследование напряженного состояния
- •Напряжения в наклонном сечении при растяжении (одноосное напряженное состояние).
- •Двуосное напряженное состояние.
- •Плоское напряженное состояние.
- •4. Главные напряжения.
- •5. Круг Мора для двуосного напряженного состояния
- •Круг Мора для плоского напряженного состояния
- •Деформация при двуосном напряженном состоянии
- •Глава 8. Основы механики разрушения
- •1. История и литература. Исходная задача об эллиптическом отверстии.
- •2. Энергия деформации пластинки с отверстием и коэффициент интенсивности напряжений
- •3. Критическое равновесие трещины
- •4. Схема расчета на трещиностойкость
- •5. Учет пластической зоны
- •6. Учет конечности размеров пластины
- •7. Экспериментальное определение коэффициента интенсивности напряжений
- •Заключение
- •Рекомендуемый библиографический список
- •Содержание
- •Специальные главы механики деформируемых тел
- •680021, Г. Хабаровск, ул. Серышева, 47.
5. Вывод уравнений равновесия пластинки
Рассмотрим элемент пластинки . Все усилия надо умножать на длину грани, чтобы получить силу.
Рис. 4. К выводу уравнений равновесия
Спроецируем силы на :
,
где – нагрузка на единицу площади. Получим:
Уравнение моментов всех сил относительно :
.
Отсюда получим (пренебрегая вторыми порядками):
.
Аналогично из уравнения моментов относительно :
Исключая из уравнений , , получим:
Подставив сюда выражения для моментов (5), (6) и приведя подобные, получим:
(7)
Обычно его записывают в виде:
, где
– оператор Лапласа.
Это – основные уравнения изгиба пластинки. В его решение входят произвольные функции, определяемые из краевых условий закрепления.
Глава 2. Уравнения равновесия тонкой пластины
Формулировка граничных условий
Рассмотрим прямоугольную пластинку (рис. 5).
Рис. 5. Координаты и размеры пластинки
Защемленный край: нет ни прогибов, ни поворотов:
при , : ;
при , : .
Шарнирно опертый край:
при : ;
Выразим момент через : .
Однако при , тождественно , поэтому для шарнирно опертой пластинки:
при , : .
Аналогично получим:
при , : .
Определение. Дифференциальное уравнение в частных производных с заданными на границе области соотношениями для искомых функций называется краевой задачей.
Изгиб круглой пластинки
В полярных координатах оператор Лапласа имеет вид:
.
Уравнение изгиба инвариантно относительно координат:
.
В полярных координатах:
.
Пусть нагрузка на пластинку и условия закрепления не зависят от координаты . Тогда уравнение имеет вид;
. (*)
Изгибающие моменты при этих условиях равны:
;
, (1)
а крутящий момент обращается в нуль.
Для свободно опертой по краю пластинки краевые условия будут:
, , при . (**)
Прямой подстановкой можно проверить, что функция:
(2)
является общим решением (*) при .
Из (**) можно найти значения произвольных постоянных :
при :
.
Отсюда для прогибов получим:
. (3)
Максимальный прогиб, очевидно, в центре пластинки при :
.
Подставляя в формулу (1) для моментов, получим:
,
.
Это – параболические функции.
Максимальные моменты – также в центре:
.
Аналогично из краевых условий
можно из (2) найти и из (1) – для защемленной по краю пластины.
Глава 3. Равновесие прямоугольной пластины
Рис. 6. Геометрия задачи и краевые условия
Рассмотрим шарнирно опертую по краю пластинку. Для нее краевая задача имеет вид:
при (1)
при
Решение ищем в виде двойного тригонометрического ряда:
Обычно применяют сокращенную запись:
Задача сводится к определению коэффициентов Ряд (2) удовлетворяет краевым условиям в силу того, что .
Для определения надо разложить нагрузку q(x,y) в ряд, аналогичный (2), найти производные от w, подставить все эти данные в уравнение (1) и сравнить эти коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях слева и справа. Сделаем это:
где известно из курса математического анализа.
Собирая все результаты, получим:
(3)
Сравнивая левую и правую части, получим:
, откуда
Таким образом, функция (2) полностью определена. Частные случаи:
нагрузка равномерно распределена по поверхности, q = const:
при нечетных m = 1, 3, 5..; n = 1,3,5…(при четных ).
Подставляя в решение (2), получим:
, (m, n = 1,3,5,..) (4)
Моменты выражаются через прогибы по формулам:
Вторые производные равны:
.
Подставляя в формулы для моментов, получим:
Максимальные изгибающие моменты возникают в центре пластины при . Для составления таблиц их представляют в виде:
, где – функции отношения . Ряд (5) сходится медленнее, чем (4), так как степень числителя выше.
Эпюры изгибающих моментов получаются табулированием функций (5). Для их построения надо оставить 4 слагаемых в ряде, т. е. члены для значений m = 1;3, n = 1;3 и протабулировать (5) с шагом hx по x, hy по y. Ошибка при этом не превышает 3 % от точного значения.
сила Р сосредоточена в точке К с координатами x0, y0. Тогда, используя -функцию, получим:
Тогда для прогибов получим:
Этот ряд сходиться медленно, ряды же для Мх и Му сходятся еще медленнее. Поэтому эту методику можно использовать в данном случае только для нахождения прогибов. После определения можно на компьютере численно найти и построить эпюры Mx, My.