- •Специальные главы механики деформируемых тел
- •Введение
- •Глава 1. Деформации и напряжения в тонкой пластине
- •Основные понятия и гипотезы
- •Перемещения и деформации в пластинке
- •Напряжения в пластинке
- •Усилия в тонкой пластинке
- •5. Вывод уравнений равновесия пластинки
- •Глава 2. Уравнения равновесия тонкой пластины
- •Формулировка граничных условий
- •Изгиб круглой пластинки
- •Глава 3. Равновесие прямоугольной пластины
- •Глава 4. Прочность пластин. Применение вариационных принципов к расчету пластин
- •Энергия тонкой пластинки
- •2. Критерий прочности тонкой пластинки
- •3. Деформационный критерий несущей способности пластин
- •4. Вариационные принципы при расчете пластин
- •5. Пример расчета пластинки с использованием принципа минимума энергии деформации
- •Глава 5. Сложное напряженное состояние деформируемых тел
- •1. Свободная энергия стержня в общем случае нагружения
- •2. Теорема Кастилиано
- •3. Интеграл Мора
- •Глава 6. Упругопластическое кручение и изгиб стержня
- •Условия пластичности. Состояние пластичности
- •Идеальная пластичность
- •Упругопластический изгиб призматического бруса
- •Упругопластическое кручение круглого бруса
- •Кручение некруглых стержней
- •Глава 7. Исследование напряженного состояния
- •Напряжения в наклонном сечении при растяжении (одноосное напряженное состояние).
- •Двуосное напряженное состояние.
- •Плоское напряженное состояние.
- •4. Главные напряжения.
- •5. Круг Мора для двуосного напряженного состояния
- •Круг Мора для плоского напряженного состояния
- •Деформация при двуосном напряженном состоянии
- •Глава 8. Основы механики разрушения
- •1. История и литература. Исходная задача об эллиптическом отверстии.
- •2. Энергия деформации пластинки с отверстием и коэффициент интенсивности напряжений
- •3. Критическое равновесие трещины
- •4. Схема расчета на трещиностойкость
- •5. Учет пластической зоны
- •6. Учет конечности размеров пластины
- •7. Экспериментальное определение коэффициента интенсивности напряжений
- •Заключение
- •Рекомендуемый библиографический список
- •Содержание
- •Специальные главы механики деформируемых тел
- •680021, Г. Хабаровск, ул. Серышева, 47.
Глава 1. Деформации и напряжения в тонкой пластине
Основные понятия и гипотезы
Определение 1. Пластиной называется призматическое или цилиндрическое тело, высота которого мала по сравнению с размерами в плане.
Определение 2. Плоскость, делящая пластинку пополам по толщине, называется срединной. Линия пересечения боковой поверхности со срединной плоскостью называется контуром пластинки.
Координаты:
Рис. 1. Координатные линии
в срединной плоскости,
вертикально вниз.
прогиб пластинки (перемещение вдоль ).
Пластинка считается тонкой, если: ;
Допустимо считать тонкой пластинку, в которой выполнено .
Если , то применяют теорию гибких пластин.
Гипотезы теории пластин:
Гипотеза прямых нормалей. Сдвиги в плоскостях отсутствуют: Нет деформации вдоль :
Гипотеза о недеформируемости срединной плоскости: .
Гипотеза об отсутствии давления между слоями пластинки, параллельными срединной плоскости:
Перемещения и деформации в пластинке
Как правило, из уравнений равновесия находят прогиб пластинки . Выразим деформации через этот прогиб.
Для получения этих выражений нам понадобятся формулы Коши, выражающие деформации через перемещения:
; ;
; ; (1)
; .
, следовательно, – из уравнений Коши.
Это означает, что прогиб не зависит от координаты .
Из следует
Поскольку не зависит от , проинтегрируем эти уравнения по :
;
.
Из того, что при (на срединной поверхности) , следует .
Отсюда получим
; .
Ненулевые деформации из формул Коши равны:
;
; (2)
;
В этих уравнениях деформации выражены через прогибы .
Напряжения в пластинке
По предположению, .
Закон Гука для нормальных напряжений
;
.
Решая систему относительно , , и учитывая (2):
; , откуда
;
. (3)
Закон Гука для сдвиговых напряжений
.
Оказывается, пользоваться законом Гука при определении , нельзя, поскольку тогда получим = = 0, согласно гипотезе прямых нормалей. Воспользуемся непосредственно уравнениями равновесия из теории упругости, пренебрегая объемными силами:
Используя (3), получим:
Интегрируя по :
.
Здесь – оператор Лапласа.
Считая, что на верхней и нижней плоскостях нет касательных нагрузок, т. е. = 0 при , найдем
Подставляя в формулу для , получим
Тем же путем получим
(4)
Таким образом, напряжения выражены через прогибы формулами (3), (4). Ниже приведены эпюры напряжений в зависимости от вертикальной координаты в соответствии с выведенными формулами.
Рис. 2. Эпюры напряжений по толщине пластины
Усилия в тонкой пластинке
Найдем внутренние силовые факторы в сечении, перпендикулярном оси :
Рис. 3. Внутренние силовые факторы
– изгибающий момент.
– крутящий момент.
– поперечная сила.
Все силы рассматриваются на единицу ширины пластины (т. е. делим на размер вдоль ).
По определению . Из (3) получим:
.
Изгибающий момент по определению:
.
. (5)
Далее обозначим
– цилиндрическая жесткость пластины.
Единицы измерения изгибающего момента на единицу ширины.
Поперечная сила:
.
Проинтегрировав, получим:
.
Единицы измерения: на единицу ширины.
Крутящий момент:
.
Единицы измерения: на единицу ширины.
Аналогично найдем
;
; (6)
.
Заметим, что
, как и должно быть по третьему закону Ньютона.
Формулы (5), (6) связывают усилия в пластинке с прогибами срединной плоскости. Осталось найти прогибы.