28.Частные дифференциалы и дифференциал функции
Цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных. Если функция f имеет производную в точке x0, а функция g имеет производную в точке y0 = f(x0), то сложная функция h(x) = g(f(x)) также имеет производную в точке x0.
Дифференциал
гладкой вещественнозначной функции f
определённой на M (M — область в
или гладкое многообразие) представляет
собой 1-форму и обычно обозначается df
и определяется соотношением
где
обозначает производную f по направлению
вектора X в касательном расслоении M.
29.Частные производные высших порядков.
Если
функция f(x,
y)
определена в некоторой области D,
то ее частные производные
и
тоже будут определены в той же области
или ее части.
Будем называть эти производные частными производными первого порядка.
Производные этих функций будут частными производными второго порядка.
Продолжая дифференцировать полученные равенства, получим частные производные более высоких порядков.
Определение.
Частные производные вида
и
т.д. называются смешанными
производными.
Теорема.
Если функция f(x,
y)
и ее частные производные
определены и непрерывны в точке М(х, у)
и ее окрестности, то верно соотношение:
.
Т.е. частные производные высших порядков не зависят от порядка дифференцирования.
Аналогично определяются дифференциалы высших порядков.
…………………
Здесь n – символическая степень производной, на которую заменяется реальная степень после возведения в нее стоящего с скобках выражения.
30.Дифференциалы высших порядков.
Определение: Дифференциалом порядка k, k>1 от функции f(x,y) в точке (x0,y0) называется дифференциал от дифференциала порядка k-1.
…………………
Здесь n – символическая степень производной, на которую заменяется реальная степень после возведения в нее стоящего с скобках выражения.
31.Формула Тейлора
Теорема. Пусть функция f(x,y) и все её частные производные до порядка n+1 непрерывны в некоторой окрестности точки (x0,y0). Тогда справедлива формула Тейлора:
где
dx=x-x0,
dy=y-y0
и
- остаток в форме Лагранжа.
Пусть точка (x,y) лежит в рассматриваемой окрестности точки (x0,y0). Сделаем следующую замену переменных:
Зафиксируем значения x и y. Тогда справедлива формула Тейлора для функции f1(x)=f(x’,y’) в точке t=0:
где
