Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида.

Представляется возможным представить вид частного решения в зависимости от вида правой части неоднородного уравнения.

Различают следующие случаи:

I. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:

где - многочлен степени m.

Тогда частное решение ищется в виде:

Здесь Q(x)- многочлен той же степени, что и P(x), но с неопределенными коэффициентами, а r – число, показывающее сколько раз число  является корнем характеристического уравнения для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.

сформулируем общее правило нахождения решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

1) Составляем характеристическое уравнение и находим его корни.

2) Находим частные решения дифференциального уравнения, причем:

a) каждому действительному корню соответствует решение e^kx;

б) каждому действительному корню кратности m ставится в соответствие m решений:

в) каждой паре комплексно – сопряженных корней характеристического уравнение ставится в соответствие два решения: и .

г) каждой паре m – кратных комплексно – сопряженных корней характеристического уравнения ставится в соответствие 2m решений:

3) Составляем линейную комбинацию найденных решений.

58.Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Определение. Совокупность соотношений вида:

где х- независимая переменная, у₁, у₂,…,у_n – искомые функции, называется системой дифференциальных уравнений первого порядка.

Определение. Система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных от неизвестных функций называется нормальной системой дифференциальных уравнений.

Такая система имеет вид:

(1)

Теорема. (Теорема Коши). Если в некоторой области (n-1) –мерного пространства функции … непрерывны и имеют непрерывные частные производные по , то для любой точки этой области существует единственное решение

системы дифференциальных уравнений вида (1), определенное в некоторой окрестности точки х₀ и удовлетворяющее начальным условиям

Определение. Общим решением системы дифференциальных уравнений вида (1) будет совокупность функций , , … , которые при подстановке в систему (1) обращают ее в тождество.

59.Метод сведения к одному уравнению.