38.Второй дифф.Как квадрат.Форма

39.Пространства.

Линейное, или векторное пространство над полем P — это непустое множество L, на котором введены операции

сложения, то есть каждой паре элементов множества ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый и

умножения на скаляр (то есть элемент поля P), то есть любому элементу и любому элементу ставится в соответствии элемент из , обозначаемый

Примеры:

1)Нулевое пространство, единственным элементом которого является ноль.

2)Пространство всех функций образует векторное пространство размерности равной мощности X.

3)поле вещественных чисел может быть рассмотрено как континуально-мерное векторное пространство над полем рациональных чисел.

В математике термин евкли́дово простра́нство может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов:

В обоих случаях, n-мерное евклидово пространство обычно обозначается , хотя часто используется не вполне приемлемое обозначение .

Примеры

Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства:

размерности 1 (вещественная прямая)

размерности 2 (евклидова плоскость)

Евклидово пространство можно считать современной интерпретацией и обобщением (т.к. оно допускает размерности больше трех) классической (Евклидовой) геометрии.

Метри́ческим простра́нством называется множество, в котором определено расстояние между любой парой элементов.

Метрическое пространство M есть множество точек с функцией расстояния (также называется метрикой) (где обозначает множество вещественных чисел).

Примеры

Дискретная метрика: d(x,y) = 0, если x = y, и d(x,y) = 1 во всех остальных случаях.

Вещественные числа с функцией расстояния d(x,y) = | y − x | и евклидово пространство являются полными метрическими пространствами.

Аффинное пространство — служит обобщением аффинных свойств евклидова пространства. Во многом схоже с линейным пространством, но в отличие от последнего, точки в аффинном пространстве являются равноправными. В частности в аффинном пространстве нет понятия нулевой точки или начала отсчёта. В аффинном пространстве возможно вычитать друг из друга точки и получать векторы так называемого присоединенного пространства; также возможно прибавлять вектор к точке и получать другую точку, но нельзя складывать точки друг с другом.

Аффинное пространство над полем — множество A со свободным транзитивным действием аддитивной группы векторного пространства V над полем .