- •1.Неопределенный интеграл.
- •2. Первообразные элем.Функций.
- •3.Замена переменных в неопр.Интегралле.
- •4.Интегрирование по частям.
- •5.Интегрирование иррациональных функций.
- •6.Элементарные рац.Функции и интегралы от них.
- •7.Алгоритм
- •8.Интегрирование функций, содержащих радикалы.
- •9.Интегрирование биноминальных дифференциалов.
- •11.Тригонометрическая подстановка.
- •12.Интегр.Функций содержащих показ.Функции
- •13.Определенный интеграл.
- •14.Класс интегрируемых функций
- •15.Определенный интеграл как функция верхнего предела
- •16.Теорема: (Теорема Ньютона – Лейбница)
- •17.Замена переменных.
- •18.Интегрирование по частям.
- •19.Приложения опред. Интеграла
- •1)Площадь плоской фигуры.
- •22.Интеграл Эйлера I рода
- •23.Интеграл Эйлера I I рода
- •24.Функции нескольких переменных
- •25. Непрерывные функции
- •26.Дифференцирование функций нескольких переменных.
- •27.Производная сложной функции
- •28.Частные дифференциалы и дифференциал функции
- •29.Частные производные высших порядков.
- •30.Дифференциалы высших порядков.
- •31.Формула Тейлора
- •32.Градиент.
- •33.Экстремум функции нескольких переменных.
- •34.Теорема. (Достаточные условия экстремума).
- •35.Условный экстремум.
- •36.Билинейная и квадратичная форма
- •38.Второй дифф.Как квадрат.Форма
- •39.Пространства.
- •40.Основные понятия теории дифференциальных уравнений.
- •41.Дифференциальные уравнения первого порядка
- •42.Уравнения с разделяющимися переменными.
- •43.Однородное дифференциальное уравнение первого порядка.
- •44.Уравнения, приводящиеся к однородным. К таким уравнениям относят уравнения вида:
- •45.Линейное уравнение первого порядка
- •46.Уравнение Бернулли
- •47.Уравнение Риккати
- •48.Уравнение в полных дифференциалах и их решение
- •49.Интегральный множитель и его нахождение
- •50.Дифференциального уравнения n-го порядка.
- •51.Диф.Ур.Высшего порядка.Способы пониж.Порядка
- •Уравнения, не содержащие явно искомой функции
- •52.Линейные однородные дифференциальные уравнения с
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами.
- •54.Метод вариации
- •55.Метод неопределенных коэффициентов.
- •56.Метод Коши
- •57.Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида.
- •58.Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •59.Метод сведения к одному уравнению.
- •60.Метод интегрируемых комбинаций
- •61. Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •62.Фундаментальная система решений как базис линейного пространства решений однородной линейной системы
- •68.Определитель Вронского
- •64.Системы линейных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами: однородные и неоднородные. Структура решения. Алгоритм решения.
- •65.Преобразование Лапласа.
- •66.Интегралл Лапласа и его свойства
- •67.Свойства 1-6 преобразования Лапласа.
- •68.Свойства 7-12 преобразования Лапласа.
- •70.Таблица изображений некоторых функций.
- •72.Интеграл Дюамеля
- •73.Достаточные условия существования оригинала
- •75.Решение уравнений методом Дюамеля.
32.Градиент.
Определение: Если в некоторой области D задана функция u = u(x, y, z) и некоторый вектор, проекции которого на координатные оси равны значениям функции u в соответствующей точке
,
то этот вектор называется градиентом функции u.
При этом говорят, что в области D задано поле градиентов.
Градиент функции указывает направление максимальной скорости изменения функции.
Производная по направлению.
Определение: Предел называется производной функции u(x, y, z) по направлению вектора в точке с координатами ( x, y, z).
Пример. Вычислить производную функции z = x2 + y2x в точке А(1, 2) по направлению вектора . В (3, 0).
Решение. Прежде всего необходимо определить координаты вектора .
=(3-1; 0-2) = (2; -2) = 2 .
Далее определяем модуль этого вектора:
=
Находим частные производные функции z в общем виде:
Значения этих величин в точке А :
Для нахождения направляющих косинусов вектора производим следующие преобразования:
=
За величину принимается произвольный вектор, направленный вдоль заданного вектора, т.е. определяющего направление дифференцирования.
Отсюда получаем значения направляющих косинусов вектора :
cos = ; cos = -
Окончательно получаем: - значение производной заданной функции по направлению вектора .
33.Экстремум функции нескольких переменных.
Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенство
то точка М0 называется точкой максимума.
Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенство
то точка М0 называется точкой минимума.
Если min и max рассматриваеться на всей области D(u),то говорят о глобальных min и max.где u-окрестность точки.
Теорема. (Необходимые условия экстремума).
Если функция f(x,y) в точке (х0, у0) имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее частные производные первого порядка равны нулю , либо хотя бы одна из них не существует.
Эту точку (х0, у0) будем называть критической точкой.
34.Теорема. (Достаточные условия экстремума).
Пусть в окрестности критической точки (х0, у0) функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Рассмотрим выражение:
Если D(x0, y0) > 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) имеет экстремум, если
- максимум, если - минимум.
Если D(x0, y0) < 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) не имеет экстремума
В случае, если D = 0, вывод о наличии экстремума сделать нельзя.