- •1.Неопределенный интеграл.
- •2. Первообразные элем.Функций.
- •3.Замена переменных в неопр.Интегралле.
- •4.Интегрирование по частям.
- •5.Интегрирование иррациональных функций.
- •6.Элементарные рац.Функции и интегралы от них.
- •7.Алгоритм
- •8.Интегрирование функций, содержащих радикалы.
- •9.Интегрирование биноминальных дифференциалов.
- •11.Тригонометрическая подстановка.
- •12.Интегр.Функций содержащих показ.Функции
- •13.Определенный интеграл.
- •14.Класс интегрируемых функций
- •15.Определенный интеграл как функция верхнего предела
- •16.Теорема: (Теорема Ньютона – Лейбница)
- •17.Замена переменных.
- •18.Интегрирование по частям.
- •19.Приложения опред. Интеграла
- •1)Площадь плоской фигуры.
- •22.Интеграл Эйлера I рода
- •23.Интеграл Эйлера I I рода
- •24.Функции нескольких переменных
- •25. Непрерывные функции
- •26.Дифференцирование функций нескольких переменных.
- •27.Производная сложной функции
- •28.Частные дифференциалы и дифференциал функции
- •29.Частные производные высших порядков.
- •30.Дифференциалы высших порядков.
- •31.Формула Тейлора
- •32.Градиент.
- •33.Экстремум функции нескольких переменных.
- •34.Теорема. (Достаточные условия экстремума).
- •35.Условный экстремум.
- •36.Билинейная и квадратичная форма
- •38.Второй дифф.Как квадрат.Форма
- •39.Пространства.
- •40.Основные понятия теории дифференциальных уравнений.
- •41.Дифференциальные уравнения первого порядка
- •42.Уравнения с разделяющимися переменными.
- •43.Однородное дифференциальное уравнение первого порядка.
- •44.Уравнения, приводящиеся к однородным. К таким уравнениям относят уравнения вида:
- •45.Линейное уравнение первого порядка
- •46.Уравнение Бернулли
- •47.Уравнение Риккати
- •48.Уравнение в полных дифференциалах и их решение
- •49.Интегральный множитель и его нахождение
- •50.Дифференциального уравнения n-го порядка.
- •51.Диф.Ур.Высшего порядка.Способы пониж.Порядка
- •Уравнения, не содержащие явно искомой функции
- •52.Линейные однородные дифференциальные уравнения с
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами.
- •54.Метод вариации
- •55.Метод неопределенных коэффициентов.
- •56.Метод Коши
- •57.Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида.
- •58.Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •59.Метод сведения к одному уравнению.
- •60.Метод интегрируемых комбинаций
- •61. Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •62.Фундаментальная система решений как базис линейного пространства решений однородной линейной системы
- •68.Определитель Вронского
- •64.Системы линейных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами: однородные и неоднородные. Структура решения. Алгоритм решения.
- •65.Преобразование Лапласа.
- •66.Интегралл Лапласа и его свойства
- •67.Свойства 1-6 преобразования Лапласа.
- •68.Свойства 7-12 преобразования Лапласа.
- •70.Таблица изображений некоторых функций.
- •72.Интеграл Дюамеля
- •73.Достаточные условия существования оригинала
- •75.Решение уравнений методом Дюамеля.
70.Таблица изображений некоторых функций.
Для большинства функций изображение находится непосредственным интегрированием.
Пример. Найти изображение функции f(t) = sint.
Для многих функций изображения посчитаны и приведены в соответствующих таблицах.
при условии, что
71.
Обратное преобразование Лапласа
Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного , называется функция действительного переменного, такая что:
где — некоторое вещественное число (см. условия существования).
Преобразование Меллина
Преобразование Меллина и обратное преобразование Меллина связаны с двусторонним преобразованием Лапласа простой заменой переменных. Если в преобразовании Меллина
положим θ = e − x, то получим двустороннее преобразование Лапласа.
72.Интеграл Дюамеля
Теорема. (Интеграл Дюамеля (Дюамель (1797 – 1872) – французский математик)). Если , то верно равенство
73.Достаточные условия существования оригинала
Условия существования прямого преобразования Лапласа
Преобразование Лапласа существует в смысле абсолютной сходимости в следующих случаях:
1)Случай : преобразование Лапласа существует, если существует интеграл
2)Случай σ > σa: преобразование Лапласа существует, если интеграл существует для каждого конечного x1 > 0 и для
Случай σ > 0 или σ > σa (какая из границ больше): преобразование Лапласа существует, если существует преобразование Лапласа для функции f'(x) (производная к f(x)) для σ > σa.
Примечание: это достаточные условия существования.
74.
Операционное исчисление используется как для нахождения значений интегралов, так и для решения дифференциальных уравнений.
:
Это уравнение называется вспомогательным (изображающим) или операторным уравнением.
Отсюда получаем изображение , а по нему и искомую функцию x(t).
Изображение получаем в виде:
Где
Этот многочлен зависит от начальных условий. Если эти условия нулевые, то многочлен равен нулю, и формула принимает вид:
Приемы операционного исчисления можно также использовать для решения систем дифференциальных уравнений.
Пример. Решить систему уравнений:
Обозначим - изображения искомых функций и решим вспомогательные уравнения:
Решим полученную систему алгебраических уравнений.
Если применить к полученным результатам формулы
то ответ можно представить в виде:
Как видно, гиперболические функции в ответе могут быть легко заменены на показательные.