40.Основные понятия теории дифференциальных уравнений.
Дифференциальным уравнением называется равенство вида
F(x, y, y', …, y(n)) = 0,
где F(t1, t2, …, tn+2) функция (n+2)-х переменных, выражающая связь между аргументом x, неизвестной функцией y и ее производными. Порядок n старшей производной, входящей в уравнении, называется порядком уравнения (конечно, не все участники, приведенные в определении, могут реально входить в уравнение: некоторые из производных, и также сама функция y(x) или даже аргумент x могут в уравнении явно не присутствовать).
Общий вид дифференциального уравнения первого порядка выглядит так:
F(x, y, y') = 0.
Уравнение, преобразованное к виду
y(n) = f(x, y, y', …, y(n-1)) для n-го порядка,или y' = f(x, y) для первого порядка,называют разрешенным относительно старшей производной.
Определение. Семейство функций y = (x, C) называется общим решением дифференциального уравнения первого порядка, если при любом выборе значения константы C = C0 функция y0(x) = (x,C0) является решением уравнения; причем если для точки (x0; y0) существует некоторое решение y =y(x) такое, что y0 = y(x0), то оно получается из общего решения при некотором значении постоянной C.
41.Дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнение вида
называется обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка. Рассмотрим способы решения некоторых его типов.
Для уравнений вида
с заданными граничными условиями доказана теорема существования и единственности.
Пусть
в области D плоскости (x, y) функция f (x,
y) и ее частная производная
непрерывны.
Тогда через каждую точку (x0;
y0)
этой области проходит одна и только
одна интегральная кривая.
42.Уравнения с разделяющимися переменными.
Диф. ур-ем с разделёнными перемеными принято называть ур-е вида (1):
(1)
Если y=y(x) является решением ур-я (1), то и правая и левая части этого ур-я представляют собой дифференциалы от переменной x, т.е. имеем равенство двух дифференциалов, то тогда неопределённые интегралы отличается разве лишь на константу. Т.е. интегрируя равенство (1), получаем общее решение данного диф. ур-я:
Уравнения с разделяющимися переменными:
Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделёнными переменными.
докажем,
что это ур-е можно привести к ур-ю с
разделёнными переменными.
Т.е.
Если
т.е.
Пример:
