Алгоритм Форда-Фалкерсона
Шаг 0. Пропускаем по сети некоторый допустимый поток (возможно нулевой). В процессе работы алгоритма (на каждом этапе) каждая вершина относится к одному из трех множеств:
непомеченные вершины,
помеченные, но не просмотренные, (окрашенные).
просмотренные (окрашенные).
Шаг 1. Пометим вершину S меткой (S+, ). Остальные вершины не помечены, S помеченная, но не просмотрена.
Шаг
2. Пусть
—
некоторая помеченная, но не просмотренная
вершина с пометкой. Рассмотрим все
соседние с
непомеченные вершины. Для каждой из
таких вершин u возможны следующие
ситуации:
и
,
тогда вершина u получает метку (
.
и
,
тогда u получает метку
.
В обоих случаях a) и b) помечаем вершину u меткой и вносим в множество помеченных, но не просмотренных вершин.
Если и
или
и
,
то u не помечается.
Когда все соседние с вершины проанализированы, переходит в множество просмотренных вершин. Окрашиваем вершину .
Шаг 3. Повторяем шаг 2 (т.е. расширяем просмотренное множество) до тех пор, пока не возникнет одна из следующих ситуаций:
Все вершины графа разбиты на два подмножества:
просмотренные (окрашенные);
непомеченные вершины, включающие в себя и вершину t.
Тогда в сети построен максимальный поток мощности V и минимальный разрез (X, X*), где X – окрашенные вершины.
Если вершина T получила метку, то в сети существует увеличивающий путь s t, который можно определить, идя из t обратно назад к s. Т.е. если метка у t была
,
то соединяем t с ν1 и т.д. Для найденного
пути определяем величину
увеличения мощности потока. На всех
прямых дугах найденного пути изменяем
f на (+
),
а на всех обратных дугах на (-
).
Мощность потока увеличилась на , т.е. V=V+ .
Переходим опять к шагу 1.
При этом множество X окрашенных вершин задает разрез (X, X*) пропускная способность которого равна мощности потока.
Пример. Для сети с заданными пропускными способностями дуг (рис. 1.17) необходимо построить поток максимальной мощности и указать разрез (X, X*) для которого M(f)=C(X, X*).
Решение На первом шаге помечается узел S (S+, ).
Шаг 1. Рассмотрим узлы, соседние с S.
Узел a помечается меткой (S+,3), т.к. (s, a) – дуга, f(s, a)=2<c(s, a)=5 и min( , 5-2)=3.
Узел b помечается меткой (S+,1), т.к. (s, b) – дуга, f(s, b)=3<c(s, b)=4 и min( , 4-3)=1.
Узел d не помечается, т.к. (s, d) – дуга и f(s, d)=4=c(c, d). Данный узел отнесем к множеству просмотренных узлов (рис. 1.18).
Рис. 1.17
(s+,)
Рис. 1.18
Шаг 2. Рассмотрим непомеченный узел t, соседний с помеченным и не просмотренным узлом a. Узел t не помечается, т.к. (a, t) – дуга и f(a, t)=2=c(a,t). Узел a после этого отнесем к множеству просмотренных узлов
Шаг
3. Рассмотрим
непомеченные узлы, соседние с узлом b.
Узел t не помечается, т.к. f(b, t) = 4 = c(b,t).
Узел d получает пометку (b-, 1), т.к (d, b) –
дуга и f(d, b)=1>0 и min(
=1,
f(d, b)=1). Узел b переходит к множеству
просмотренных узлов (рис. 1.19).
Рис. 1.19
Шаг
4. Узел t
получает метку (d+, 1), поскольку является
соседним с помеченным и не просмотренным
узлом d, (d, t) – дуга, и f(d, t) = 3< c(d, t) = 5 и
=
1= min(1, 5-3). Определим путь P, увеличивающий
поток.
Т.к. xt=d+, xd=b-, xb=s+, то P(s, b, d, t).
На прямых дугах (s, b) и (d, t) этого пути увеличиваем поток на =1, а на обратной дуге (d, b) уменьшаем на 1. Т.о. получается новый поток, больший исходного (рис. 1.20)
Рис. 1.20
Необходимо снова увеличить поток.
Пометим узел S(s+, ). Из узлов, соседних с s можно пометить лишь узел a(s+,3). Узел s переходит в множество просмотренных узлов.
Рассмотрим непомеченные узлы, соседние с узлом a.
Узел t не помечается, т.к. (a, t) – дуга и f(a, t)=2=c(a, t).
Узел b не помечается, т.к. (b, a) – дуга и f(b, a)=0.
Узел a переходит в множество просмотренных узлов.
Поскольку в сети нет помеченных и не просмотренных узлов, то полученный поток является максимальным.
Определим
минимальный разрез. К множеству X
относятся все помеченные узлы: X = {s, a},
к
=
{b, d, t}. В разрез входят дуги, идущие из
узлов множества X в узлы множества
,
т.е. (s, b), (s, d), (a, t) (рис. 1.21).
Величина потока V=10 равна суммарной пропускной способности дуг разреза.
Рис. 1.21