- •2. Понятие обратной функции.
- •4. Определение предела последовательности.
- •6. Определение ограниченной последовательности.
- •21.Теорема о производной сложной функции.
- •22.Теорема о производной обратной функции.
- •23. Геометрический смысл производной и дифференциала.
- •28. Формула Тейлора. Формула Маклорена.
- •51. Окрестность точки в rⁿ.
- •52. Открытые и замкнутые множества.
- •53. Изолированные и предельные точки множества.
- •55. Сходимость последовательности точек в Rn, ее эквивалентность покоординатной сходимости.
- •72. Теорема о равенстве смешанных производных
- •73. Формула Тейлора для функции нескольких переменных с остаточным членом в форме Лагранжа.
- •74. Локальные экстремумы функций
- •75. Необходимое условие локального экстремума функций нескольких переменных.
- •76. Достаточное условие локального экстремума функций нескольких переменных.
- •77. Условный экстремум.
- •78. Метод Лагранжа.
- •79. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на замкнутом ограниченном множестве.
- •86. Последовательность частичных сумм. Сумма ряда. Сходящиеся ряды.
- •87. Свойства сходящихся рядов.
- •88. Необходимое условие сходимости числового ряда.
- •89. Числовые ряды с неотрицательными членами.
- •90. Критерий сходимости числовых рядов с неотрицательными членами.
- •91. Признаки сравнения, признак Даламбера и Коши, интегральный признак для числовых рядов с неотрицательными членами.
- •92. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
- •93. Признак Лейбница для знакочередующихся числовых рядов.
- •109. Общее решение однородной системы линейных
92. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным. Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд, то есть такой ряд, в котором последовательные члены имеют противоположные знаки. Ряд а1+а2+…+аn+…называется абсолютно сходящимся, если ряд |а1|+|а2|+…+|аn|+…также сходится, т.е. сходится ряд, составленный из модулей его членов. Ряд а1+а2+…+аn+…называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.
93. Признак Лейбница для знакочередующихся числовых рядов.
Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и стремятся к нулю, когда n–>∞, то: 1) ряд сходится; 2) любой остаток ряда не превосходит по абсолютной величине первого из своих членов и имеет одинаковый с ним знак.
94. Степенные ряды. Ряд вида a0+a1x+a2x+…+anxn+…, гдеa0, a1, a2, …,an, … - некоторая числовая послед-ть, называют степенным рядом.
95. Теорема Абеля.Если степенной ряд a0+a1x+a2x+…+anxn+… сходится при некотором х=х0, не равном нулю, то он сходится, и притом абсолютно, при всех х, удовлетворяющих условию |х|<|x0|; Если ряд a0+a1x+a2x+…+anxn+… расходится при некотором х=х1, то он расходится при всех х, удовлетворяющих условию |х|>|x1|
96. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.Теорема: Для степенного ряда a0+a1x+a2x+…+anxn+… возможны только три случая: 1) ряд сходится только в единственной точке х=0; 2) ряд сходится для всех значений х; 3) существует такое R>0, что ряд сходится для всех значений х из интервала (-R;R) и расходится для всех значений х вне отрезка [-R;R].
Определение: интервал (-R;R) называют интервалом сходимости ряда a0+a1x+a2x+…+anxn+…, число R –радиусом сходимости этого ряда.
97. Интегрируемость и дифференцируемость суммы степенного рядана интервале сходимости. Пусть ф-ция разлагается на интервале (-R;R) в степенной ряд f(x)=a0+ a1x+ a2x2+..+ anxn+..(1)Рассмотрим степенной ряд a1+ 2a2x+..+nanxn-1+..(2) полученный почленным дифференцированием ряда:
1)ряд (2) имеет тот же радиус сходимости R, что и ряд (1)
2) на всем интервале (-R,R) ф-цияf(x) имеет производную f’(x), которая разлагается в степенной ряд (2)
Следствие: ф-цияf(x) , которая разлагается в степенной ряд (1)на интервале (-R,R), бесконечно диф на этом интервале. Разложение в степенной ряд для любой производной получается почленным дифференцированием ряда (1). При этом радиусы сходимости рядов раны радиусу сходимости ряда.
Если ф-цияf(x) разлагается в степенной ряд на интервале (-R,R), то она интегрируема на этом интервале. Интеграл от суммы ряда равен сумме интегралов от членов ряда: ⌠x2x1f(x)dx=⌠x2x1a0+ a1x+ a2x2+..+ anxn+.dx=⌠x2x1 a0+⌠x2x1 a2 x2dx+…⌠x2x1 anxndx+..
98. Ряды Тейлора (Маклорена). Если функция f (x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:
где Rn − остаточный член в форме Лагранжа определяется выражением
Если приведенное разложение сходится в некотором интервале x, т.е. , то оно называется рядом Тейлора, представляющим разложение функции f (x) в точке a. Если a = 0, то такое разложение называется рядом Маклорена:
99. Достаточное условие разложимости функции в ряд Маклорена. Если функция f(x) на интервале (-R,R) бесконечно дифференцируема и ее производные равномерно ограничены в совокупности, т. е. существует такая константа М, что для всех
выполняется условие
при п=0,1,2,…, то функцию можно разложить в ряд Тейлора на этом интервале.
100. Разложение в ряд Маклорена функцийex=1+x+(x2/2!)+(x3/3!)+…+(xn/n!)+…
Sinx=x-(x3/3!)+(x5/5!)-…+(-1)n(x2n+1/(2n+1)!)+…
Cosx=1-(x2/2!)+(x4/4!)-…+(-1)n(x2n/(2n)!)
1/1+x=1-x+x2-x3+…+(-1)nxn+…(r=1)
Ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-x4/4+…+(-1)n(xn+1/n+1)
(1+x)b=1+b/1!x+(b(b-1)x2)/2!+…+(b(b-1)…(b-n+1)xn)/n!+…
101. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для уравнения первого порядка в нормальной форме.Если в некоторой окрестности точки (х0;у0) ф-цияf(x,y) определенная, непрерывна и имеет непрерывную частную производную f’y, то существует такая окрестность точки (х0;у0), в которой задача Коши y’=f(x,y), y(x0)=y0имеет решение, притом единственное.
102. Уравнения с разделяющимися переменными. Автономные уравнения .Одним из наиболее простых, но весьма важных типов дифференциальных уравнений являются уравнения с разделяющимися переменными. Это дифференциальные уравнения вида: y’=f(x)g(y), где f(x) и g(y) – непрерывные ф-ции.
Одним из важных частных случаев дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными являются так называемые автономные уравнения. Это уравнения вида: y’=g(y).
103. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальное уравнение y’+p(x)y=0 называется линейным однородным уравнением, соответствующим уравнению y’+p(x)y=f(x).
104. Уравнения в полных дифференциалах.Диф уравнения в симметрической форме N(x,y)dx+M(x,y)dy=0, где N(x,y) и M(x,y) непрерывные в некоторой области Dф-ции, называется уравнением в полных дифференциалах, если существует такая непрерывно дифф-цияU(x,y), что dU= N(x,y)dx+M(x,y)dy
105. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли. Дифференциальное уравнение вида y’+p(x)y=f(x)yn (n≠0, n≠1) называется уравнением Бернулли.
106. Линейные дифференциальные уравнения. Фундаментальная система решений. Определитель Вронского системы решений Дифференциальное уравнение n-го порядка, называется линейным. Если оно имеет вид yn+a1xyn-1+a2xyn-2+…+anxy=f(x), где a1x, a2x, …, anx, f(x) – непрерывныеф-ции.
W(y1, y2,…,yk)=|y1 y2 …. Yk|
|y’1y’2 …. Y’k|
|. . …………… |
|y1(k-1)y2(k-1) …. Yk(k-1)|
Систему уравнений y1(x),…., yn(x), состоящую из n линейно зависимых решений уравнений L(y)=0, будем называть фундаментальным набором решений этого уравнения.
107. Общее решение однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (для уравнений второго порядка).1 случай: y=C1eλx+C2еλx2 случай: у=еах(С1cosβx+C2sinβx) 3 случай: y=eλx(C1+C2x)
108. Частное решение неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида.y=xleax(Pm(x)cosbx+Qm(x)sinbx)