51. Окрестность точки в rⁿ.

Пусть pₒ- точка в Rⁿ и ε – положительное число. Открытым шаром, или просто шаром радиуса ε с центром в pₒ называется множество всех точек, расстояние которых от pₒ меньше ε:

{p € Rⁿ │ ρ (pₒ,p)< ε}.

Шар радиуса ε с центром pₒ обозначается B(pₒ, ε) или U3(pₒ). Множество U3(pₒ) называют

ε–окрестностью точки pₒ.

Внутренние и граничные точки множества:

Пусть Х – множество в пространстве Rⁿ. Точка р называется:

-Внутренней точкой множества Х, если она содержится вместе с некоторой своей

ε–окрестностью;

-Внешней точкой по отношению к Х, если она является внутренней для дополнения Х в Rⁿ;

-Граничной точкой для Х, если она не является ни внутренней ни внешней точкой для Х, иначе говоря, если любая ее окрестность содержит как точки, принадлежащие Х, так и точки, не принадлежащие Х.

52. Открытые и замкнутые множества.

Множество X называется открытым, если все его точки внутренние.

Множество X называется закрытым, если оно содержит все свои граничные точки.

53. Изолированные и предельные точки множества.

Пусть X - множество в Rⁿ. Точка p0 называется предельной для X, если в любой

ε-окрестности точки p₀ имеются точки множества X, отличные от p₀.

При этом сама точка p₀ может как принадлежать, так и не принадлежать множеству X.

Точка p₀  X называется изолированной точкой множества X, если у нее существует

ε-окрестность, в которой никаких других точек из X, кроме p₀, нет.

Ясно, что любая точка множества Х является либо изолированной, либо предельной

для Х.

54. Ограниченные множества.

Множество X Rⁿ называется ограниченным, если оно целиком содержится в некотором шаре.

Нетрудно показать, что ограниченность множества Х означает, что существует такое число C>0, что координаты любой точки p=(x₁,x₂,…,x_n) из Х по модулю не превосходят С: |x₁| .

55. Сходимость последовательности точек в Rn, ее эквивалентность покоординатной сходимости.

Пусть – последовательность точек в Rⁿ. Мы говорим, что эта последовательность сходится к точке p0, если числовая последовательность имеет предел 0.

Пусть p₁=(x₁,y₁), p₂=(x₂,y₂) ,…- последовательность точек в . Мы скажем, что эта последовательность сходится к точке p₀=(x₀,y₀), если числовая последовательность x₁,x₂,… сходится к числу x₀, а числовая последовательность y₁,y₂,… - к числу y₀.

56. Функция нескольких переменных.

Числовая ф-ция n переменных характеризуется тем, что областью ее определения является подмножество Х пространства Rⁿ, n>1В этом случае значение аргумента х представляет собой точку (х₁,х₂,..х_n) .

57. Поверхности (линии) уровня функции нескольких переменных.

Линией уровня функции называют линию f(x,y)=C на координатной плоскости, в точках которой функция f принимает постоянное значение C.

При n>2 следует говорить не о линиях, а о множествах уровня. Множество уровня имеет уравнение f( и истолковывается как “ поверхность” в

58. Предел функции нескольких переменных.

Пусть на множестве X Rⁿ задана функция f(p) и пусть p₀ – предельная точка для Х. Число a называется пределом функции f в точке p₀, если для любой сходящейся к p₀ последовательности , где все p_n p₀, соответствующая числовая последовательность сходится к числу а.

Запись: , или в координатной форме:

59. Непрерывность функции нескольких переменных.

Функция f(p), определенная на множестве X Rⁿ, называется непрерывной

в точке р₀  X, если , или же, если p₀ – изолированная точка множества Х.

Функция f(p), определенная на множестве X Rⁿ, называется непрерывной на этом множестве, если она непрерывна в каждой точке множества Х.

60. Свойства функций, непрерывных на замкнутом ограниченном множестве: ограниченность, достижение наибольшего и наименьшего значений.

Если числовая функция f от n переменных задана на ограниченном и замкнутом множестве Х Rⁿ, то она ограничена на этом множестве.

Если числовая функция f от n переменных задана на ограниченном и замкнутом множестве Х Rⁿ, то существует точка p₀  X, в которой f принимает свое наименьшее значение, и точка q₀  X, в которой f принимает свое наибольшее значение на Х.

61. Частные производные функции нескольких переменных.

Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения частного приращения функции к приращению соответствующей независимой переменной, когда это приращение стремится к нулю.

Частные производные функции z=f(x,y) в точке (x₀,y₀) обозначаются так:

z’x , dz/dx , f’x(x₀,y₀) – производная по x;

z’y, dz/dy, f’y(x₀,y₀) – производная по y.

62.Дифференцируемость функции нескольких переменныхФ-цияz=f(x,y) называетсядифференцируемойвточке (x₀,y₀), еслиееполноеприращениеможнопредставитьввиде: ∆z=f(x,y)-f(x₀,y₀)=f’_x(x₀,y₀)∆x+ f’_y(x₀,y₀)∆y+eρ, либо ∆z=dz+ eρ, гдее=е(∆x,∆y)- ф-циябесконечномалаяпри ∆x→0,∆y→0; ρ=√((∆x)²+∆y²)-расстояниеотточки (x,y) доточки(x₀,y₀)

63. Дифференциал функции нескольких переменных.Полный дифференциал ф-циивыполняет роль линейного приближения и определяется как сумма произведений частных производных ф-ции на приращения независимых переменных: dz=z’x∆x+z’y∆y

64. Достаточное условие дифференцируемости функции нескольких переменных.Если частные производные f’x(x,y) и f’y(x,y) определены в окрестности точки (x₀,y₀), то ф-цияz=f(x,y) дифференцируема в этой точке

65. Непрерывность дифференцируемой функции.Если ф-цияz=f(x,y)дифференцируема в точке (x₀,y₀), то она непрерывна в этой точке.

66. Однородные функции. Ф-ция z(x;y) называется однородной степени α, если для любой точки (х;у) из области определения и переменной t выполняется равенство z(tx;ty)= t^α z(x;y).

Пусть D из Rⁿ – область в Rⁿ, содержащая с каждой своей точкой (x1, x2, …., xn) и все точки вида (tx1, tx2, …., txn) при t>0 ф-ция f(x1, x2, …., xn) с такой областью определения D называется однородной степени λ, если для любого t>0 выполнятся равенство f (tx1, tx2, …., txn)=tλ f(x1, x2, …., xn).

67. Формула Эйлера для однородной функции. f’x(tx, ty)x+f’y(tx, ty)y=λt^λ-1f(x,y)

Положив здесь t=1,получим формулу Эйлера:

f’x(x, y)x+f’y(x, y)y=λf(x,y)

68.Производная сложной функции. Сложной функцией называется такая функция аргумент которой представляет собой ещё одну функцию.

Правило вычисления производной сложной функции: Производная сложной функции равна произведению производной основной функции на производную вспомогательной

69. .Производная по направлению.

Производной ф-ции f(x,y) в точке (x₀,y_o) по направлению ℮ называется предел

70. Градиент. Свойства градиента Градиентом ф-ции z= f(x,y) в точке M(x,y) называется вектор, координаты которого равны соответствующим частным производным , взятым в точке M(x,y).

Grad f(M)=(f’x(M),f’y(M)). Градиент указывает направление наискорейшего роста ф-ции, а максимальная скорость роста равна модулю градиента.

│Gradf(M)│=δf(M)/δe

Положимѱ(t)=f(p+tv), p,vϵRⁿ, тогдаѱ’(0)=(gradf(p),v)

Градиент ф-цииgradf(M) является вектором нормали касательной к линии уровня в точке М

Градиент ф-цииf(x,y,z) является вектором нормали касательной плоскости к поверхности уровня ф-ции в точке М

71. Частные производные высших порядков. Частные производные от функций f’_x(x,y) и f’_y(x,y) называют частными производными второго порядка от ф-цииf(x,y).Частные производные от частных производных второго порядка называют частными производными третьего порядка от ф-ции. Частные производные второго порядка z’’_xyиz’’_yxназывают смешанными частными производными.