Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»

Кафедра «Теория вероятностей и математической статистики»

И.Е. Денежкина, М.Г. Орлова, Ю.Н. Швецов

Основы математической статистики

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

для самостоятельной работы бакалавров

Москва 2009

УДК 519.22(075.8)

ББК 22.172

К1

Основы математической статистики

Учебно-методическое пособие

для самостоятельной работы бакалавров

И.Е. Денежкина, М.Г. Орлова, Ю.Н. Швецов

М., Финансовая академия, 2009, с иллюстрациями.

. Пособие предназначено для подготовки бакалавров экономики и менеджемента Финакадемии. Оно может быть использовано как для проведения семинарских занятий, так и для организации самостоятельной работы студентов. По каждой теме кратко излагаются основные сведения из теории, даются решения типовых задач, упражнения для самостоятельной работы, рекомендации и задания для лабораторной работы, унифицированные задания для контрольных работ.

Финансовая академия при Правительстве Российской Федерации, 2010

Содержание

Введение 4

§1. Основы выборочного метода 6

1.1. Понятие о выборочном методе. 6

1.2. Методы группировки экспериментальных данных 8

1.3. Выборочные оценки и ошибки выборки 11

1.4. Некоторые требования, предъявляемые к выборочным оценкам 16

1.5. Случайная повторная выборка для определения оценки доли признака 17

1.6. Случайная повторная выборка для определения оценки 21

генеральной средней 21

1.7. Оценка генеральной дисперсии 24

1.8. Простая случайная бесповторная выборка 28

1.9. Эмпирическая ковариация 32

1.10. Межгрупповая дисперсия 36

Упражнения 38

Задания для контрольной работы № 1. 43

§2. Статистическая проверка гипотез 45

2.1. Основные понятия 45

2.2. Сравнение выборочной средней с математическим ожиданием нормальной генеральной совокупности при известной дисперсии 50

2.3. Сравнение генеральных средних по выборкам одинакового объема при равных известных дисперсиях. 51

2.4. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий при известных дисперсиях 53

2.5. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий при равных неизвестных дисперсиях 55

2.6. Сравнение дисперсий двух нормальных распределений 58

2.7. Критерии согласия 59

2.8. Распределение долей признаков 61

2.9. Сравнение выборочной исправленной дисперсии с заданной дисперсией нормальной генеральной совокупности 62

Упражнения 67

2.10. Задания для контрольной работы № 2 70

§ 3. Обработка результатов наблюдений 70

3.1. Методические указания к лабораторной работе 70

3.2. Задания для лабораторной работы 77

Приложения 85

Ответы к упражнениям 91

Заключение 92

Введение

Математической статистикой называют раздел математики, посвященный математическим методам сбора, систематизации, обработки и интерпретации статистических данных. Статистическими данными называются сведения о числе объектов в какой-либо более или менее обширной совокупности, обладающих теми или иными признаками.

Математическая статистика использует методы теории вероятностей, но решает иные задачи. В теории вероятностей рассматриваются случайные величины с заданным распределением или случайные эксперименты, свойства которых известны, устанавливаются свойства и взаимосвязи этих величин. Но часто результатом эксперимента является набор числовых (или их можно сделать числовыми) результатов, полученных повторением одного и того же случайного эксперимента в одинаковых условиях, по которым требуется сделать выводы о свойствах этого эксперимента и участвующих в нем величин. В ряде случаев бывает возможно высказать некие предположения об их распределении или о его свойствах. Тогда по опытным данным требуется подтвердить или опровергнуть эти предположения (“гипотезы”). При этом выводы могут быть сделаны лишь с определенной степенью достоверности, которая будет повышаться с увеличением количества экспериментов. Иногда некоторые свойства наблюдаемого эксперимента оказываются заранее известными и можно сформулировать какие-то априорные выводы о распределении: о наличии функциональной зависимости между наблюдаемыми величинами, о нормальности распределения, о его симметричности, о наличии у распределения плотности или о его дискретном характере и т. д. Наличие таких знаний помогает на основании результатов эксперимента делать выводы о прочих, неизвестных, свойствах распределения.

Математическая статистика позволяет по результатам конечного числа экспериментов делать некоторые выводы о распределениях случайных величин, наблюдаемых в этих экспериментах. Точные выводы о распределении можно делать лишь тогда, когда проведено бесконечное число испытаний, что неосуществимо

Коротко об истории математической статистики. Математическая статистика как наука начинается с работ знаменитого немецкого математика Карла Фридриха Гаусса (1777-1855), который на основе теории вероятностей исследовал и обосновал метод наименьших квадратов, созданный им в 1795 г. и примененный для обработки астрономических данных (с целью уточнения орбиты малой планеты Церера). Его именем часто называют одно из наиболее популярных распределений вероятностей – нормальное, а в теории случайных процессов основной объект изучения – гауссовские процессы.

В конце XIX в. – начале ХХ в. крупный вклад в математическую статистику внесли английские исследователи, прежде всего К.Пирсон (1857-1936) и Р.А.Фишер (1890-1962). В частности, Пирсон разработал критерий «хи-квадрат» проверки статистических гипотез, а Фишер – дисперсионный анализ, теорию планирования эксперимента, метод максимального правдоподобия оценки параметров.

В 30-е годы ХХ в. Польский ученый Ежи Нейман (1894-1977) и английский Э.Пирсон развили общую теорию проверки статистических гипотез, а советские математики академик А.Н. Колмогоров (1903-1987) и член-корреспондент АН СССР Н.В.Смирнов (1900-1966) заложили основы непараметрической статистики. В сороковые годы ХХ в. А. Вальд (Румыния) (1902-1950) построил теорию последовательного статистического анализа.

Математическая статистика бурно развивается и в настоящее время.