1.6. Случайная повторная выборка для определения оценки генеральной средней

Точечная оценка генеральной средней.

Пусть , .

Выборка рассматривается как п повторных независимых испытаний. Результат каждого испытания есть случайная величина x_i, закон распределения которой совпадает с генеральным распределением, т.е. и . После n испытаний, получены n попарно независимых одинаково распределенных случайных величин,.

- случайная величина.

Всего выборок можно произвести . Определив вероятность каждой выборки и составив закон распределения для , найдем

,

отсюда и - несмещенная оценка .

- состоятельная оценка (по теореме Чебышева.

Рассмотрим дисперсию

(1.17)

при будет иметь минимально возможное значение, следовательно - эффективная оценка .

Итак, точечная оценка генеральной средней удовлетворяет всем необходимым требованиям.

Интервальная оценка генеральной средней.

(1.18)

Формула (1.18) получена на основании частного случая теоремы Ляпунова, т.е. теоремы Лапласа для одинаково распределенных случайных величин при больших объемах выборки. Но согласно (1.17), следовательно,

. (1.19)

Тогда

. (1.20)

Замечание Если значение неизвестно, то егоследует заменить "хорошей" точечной оценкой. Считая, что. получим аналог формулы (1.20):

. (1.21)

Пример 1..13. Определяется средний рабочий стаж большой группы рабочих. Произведена случайная повторная выборка 900 личных листков. Средний рабочий стаж в выборке оказался равным 15,5 годам, а среднее квадратическое отклонение 4,8 года. С какой вероятностью можно утверждать, что отклонение выборочной средней от генеральной не превысит 0,5 года.

Решение. По условию . Найти .

Вычисляем . По таблице находим , сле-довательно, по формуле (1.20) доверительная вероятность .

Пример 1.14. По данным предыдущего примера найти доверительные границы при оценке генеральной средней, которые можно гарантировать с вероятностью 0,9500.

Решение. По условию Найти и .

Так как по формуле (1.20 ) где по таблицам находим t = 1,96.

Доверительные границы будут:

или

Пример 1.15. В условиях предыдущего примера определить необходимый объем выборки, при котором ошибка не превысит 0,5 с доверительной вероятностью 0,9990.

Решение. По условию P_o = 0,9990; Найти п.

По таблицам определяем Из равенства находим

Пример 1.16. Случайная величина Х имеет показательное распределение (например, время бесперебойной работы устройства) с плотностью

В таблице дан эмпирический закон распределения времени работы этого устройства

Время работы	0 - 20	20 - 40	40 - 60	60 - 80
Число устройств	100	40	15	4

Методом моментов найти точечную оценку параметра 

Решение.

X	10	30	50	70
	100/159	40/159	15/159	4/159

.

Пример 1.17. Случайная величина Х распределена по закону Пуассона

Результаты 120 независимых наблюдений X отражены в таблице

Значение Х	0	1	2	3
Частота	70	20	14	16

Методом моментов найти точечную оценку параметра .

Решение. Математическое ожидание случайной величины Х равно . Составим эмпирический закон распределения относительных частот

Значение Х	0	1	2	3
Относительная частота	7/12	1/6	7/60	2/15

Пример 1.18. По выборке x₁ = 4; x₂ = 3; x₃ = 2; x₄ = 4; x₅ = 2. Определить точечную оценку параметра p геометрического распределения , где X – случайная величина, которая означает число испытаний до первого появления события, а p – вероятность появления события в одном испытании.

Решение. Среднее выборочное значение случайной величины X

Отсюда точечная оценка параметра .