1.7. Оценка генеральной дисперсии

Пусть

Поскольку заменяются две величины ( и ), то это вызывает смещение оценки :

. (1.22)

Покажем это .

Известно что

.

Пусть Х₁, Х₂,…, Х_i ,...,X_n - независимые случайные величины, каждая из которых имеет один и тот же закон распределения с числовыми характеристиками: и D(X_i)=D₀. Пусть подставим в (*), тогда:

Найдем E[D_в]:

Итак Что и требовалось доказать.

При больших п смещение невелико, им можно пренебречь, но при малых выборках оно существенно.

Таким образм, есть несмещенная оценка дисперсии или

. (1.23)

Тогда исправленное среднее квадратическое отклонение имеет вид:

. (1.24)

Для интервальной оценки используется выражение , где находится по формуле (1.24).

Замечание. Однако для больших выборок можно считать, что . В случае малых выборок (п < 30) пользуются исправленной дисперсией по формуле (1.24).

По закону больших чисел является состоятельной оценкой для генеральной дисперсии. А так как множитель при , то также является состоятельной оценкой для . Оценка , строго говоря, не является эффективной оценкой для , однако при наличии нормального распределения ее можно считать приближенно эффективной.

Замечание. Если известно точное значение математического ожидания « » для n измерений, то E(X_i) = где х_i – отдельные измерения. Исправленная (несмещённая) дисперсия находится по формуле

(1.25)

Действительно.

, т.е. E(D^*_в) = D₀ .

Пример 1.19. В ящике содержатся стержни трех размеров (N = 3): 12 см, 14 см и 16 см с соответствующими долями 0,1; 0,3; 0,6. Производится повторная выборка двух стержней (n = 2). Найти все возможные выборочные распределения и построить законы распределения для и . Проверить на данном примере справедливость равенств .

Решение. Определим количество возможных выборок:

.

Закон распределения генеральной совокупности представлен в следующей в таблице

X	12	14	16
P	0,1	0,3	0,6

Вычислим генеральные характеристики :

Все выборочные законы представлены в следующей таблице.

№ выборки	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	12 12	12 14	12 16	14 12	14 14	14 16	16 12	16 14	16 16
	2	1 1	1 1	1 1	2	1 1	1 1	1 1	2
	12	13	14	13	14	15	14	15	16
	0	1	4	1	0	1	4	1	0
	0,01	0,03	0,06	0,03	0,09	0,18	0,06	0,18	0,36

Проверим, что .

По данным последней таблицы получим строим законы распределения для и D_в и находим соответствующие характеристики.

	12	13	14	15	16
P	0,01	0,06	0,21	0,36	0,36	1

,

	0	1	4
	0,46	0,42	0,12	1

E[D_в]=0,42+0,48=0.9/

Итак, ,

Откуда следует: и при n = 2.

Пример 1.20. Даны результаты 6 независимых измерений одной и той же величины прибором, не имеющим систематических ошибок: 36; 37; 32; 43; 39; 41. Найдите несмещенную оценку дисперсии ошибок измерений, если истинная длина неизвестна.

Решение. Представим исходные данные в виде таблицы:

xi	32	36	37	39	41	43
р	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Вычислим последовательно

;

Отсюда

Пример 1.21. В условиях предыдущей задачи найдите несмещённую оценку дисперсии ошибок измерений, если истинная величина известна и равна 37,8.

Решение В этом случае в формулу подставляется не выборочное среднее, а истинная величина: