Математика _1 семестр 2012 для ПИ1

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования

«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Кафедра «Математика»

В.В. Коннов, Е.С. Волкова

МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ

ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА»

(первый семестр)

Для студентов, обучающихся по направлению «Прикладная информатика»

Москва 2012

1

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования

«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Кафедра «Математика»

Утверждено на заседании кафедры от 29.08.2012, протокол № 1

Зав. кафедрой

_______________В.Б. Гисин

В.В. Коннов, Е.С. Волкова

МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ

ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА»

(первый семестр)

Для студентов, обучающихся по направлению «Прикладная информатика»

Москва 2012

2

УДК 512(072) ББК 22.1я73

К64

Рецензент: А.А. Рылов – к.ф.-м. наук, доцент кафедры «Математика»

К64 В.В. Коннов, Е.С. Волкова. Материалы для подготовки к экзамену по дисциплине «Математика» (первый семестр) для студентов, обучающихся по направлению «Прикладная информатика». – М.: Финуниверситет, кафедра «Математика», 2012. - 48 с.

Пособие предназначено для подготовки к экзамену по дисциплине «Математика» (первый семестр) для студентов, обучающихся по направлению «Прикладная информатика». Материал содержит программу дисциплины, описание структуры и содержания экзамена, систему оценивания, темы домашних контрольных работ, вопросы и задачи для самостоятельной работы и перечень рекомендуемой литературы.

УДК 512(072) ББК 22.1я73

Учебное издание

Коннов Валерий Владимирович Волкова Елена Сергеевна

Материалы для подготовки к экзамену по дисциплине «Математика» (первый семестр)

Заказ № ______

Отпечатано в Финуниверситете

©Валерий Владимирович Коннов, 2012

©Елена Сергеевна Волкова, 2012

©Финуниверситет, 2012

3

СОДЕРЖАНИЕ

Программа дисциплины……………………………………..………………...5 Тематика контрольных работ …..………..…………………………………...8 Структура экзамена…………………………………........................................9 Содержание экзамена………………………………………………………...10

Образцы экзаменационных билетов………………………………………...33

Ответы.………………………………………………………………………..42

Рекомендуемая литература…………………………………………………..48

4

ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

Раздел 1. Линейная алгебра

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Арифметические векторы и линейные операции над ними. Векторное пространство Rn. ГеометрическийсмыслпространствR2 и R3. Линейные пространства общего вида. Линейная зависимость системы векторов

иее геометрический смысл. Базис и размерность линейного пространства. Координаты вектора в данном базисе. Подпространства линейного пространства.

Скалярное произведение векторов в Rn. Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского. Длины векторов и угол между векторами в Rn. Ортогональный и ортонормированный базисы в Rn. Координаты вектора в ортогональном базисе. Процесс ортогонализации. Ортогональное дополнения подпространств.

Сложение матриц и умножение матрицы на число. Ранг матрицы. Матричная запись системы линейных алгебраических уравнений. Пространство решений однородной системы, связь его размерности с рангом матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Фундаментальная система решений однородной системы. Связь между общими решениями однородной

инеоднородной систем.

Умножение матриц. Невырожденные квадратные матрицы. Обратная матрица. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. Решение матричных уравнений вида AX = B.

Определители и их свойства. Непосредственное вычисление определителей второго и третьего порядка. Формула разложения определи-

5

теля по строкам и столбцам*. Применение определителей: 1) критерий невырожденности квадратной матрицы; 2) нахождение ранга матрицы; 3) критерий существования ненулевых решений однородной системы линейных алгебраических уравнений с n неизвестными, состоящей из n уравнений; 4) нахождение решения системы линейных алгебраических уравнений по формуле Крамера; 5) нахождение обратной матрицы.

Комплексные числа и действия над ними. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел. Корни n-ой степени из комплексного числа. Формулировка основной теоремы алгебры *.

Линейные преобразования пространства Rn. Линейные операторы. Ядро и образ линейного оператора. Матрица линейного оператора. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов. Собственные значения квадратных матриц.

Замена базиса в линейном пространстве, матрица перехода. Преобразование координат вектора при замене базиса. Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса.

Квадратичные формы, их матрицы в данном базисе. Приведение квадратичной формы к нормальному виду методом Лагранжа. Приведение квадратичной формы к каноническому виду при помощи ортогонального преобразования. Закон инерции квадратичных форм. Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы *.

Раздел 2. Аналитическая геометрия

Арифметическое точечное пространство Аn. Системы координат в арифметическом точечном пространстве. Прямые и k-мерные плоскости в Аn, гиперплоскости. Угол между прямыми, угол между гиперпло-

* Без доказательства (здесь и далее по тексту).

6

скостями, угол между прямой и гиперплоскостью. Расстояние между точками, расстояние от точки до гиперплоскости. Различные способы задания прямой на плоскости А2. Прямые и плоскости в А3.

Луч, отрезок в арифметическом пространстве Аn . Выпуклые множества. Полупространства, выпуклые многогранные области. Системы линейных неравенств и их геометрический смысл множества их решений. Угловые точки выпуклых многогранных областей. Выпуклая оболочка системы точек в Аn. Линейная задача оптимизации.

Классификация кривых второго порядка*. Эллипс, гипербола и парабола, их свойства и канонические уравнения. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. Инварианты кривых второго порядка. Классификация поверхностей второго порядка*. Эллипсоиды, параболоиды и гиперболоиды, их канонические уравнения.

Выпуклые множества в пространстве Rn. Полупространства, выпуклые многогранные области. Системы линейных неравенств и их геометрический смысл. Угловые точки выпуклых многогранных областей. Выпуклая оболочка системы точек в Rn.

Раздел 3. Экономические приложения линейной алгебры и аналитической геометрии

Примеры экономико-математических моделей, приводящих к задачам линейного программирования. Стандартная и каноническая формы записи задач линейного программирования.

Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования в случае двух переменных. Графический метод решения. Решение задачи линейного программирования методом перебора вершин.

7

Симплекс-метод решения задач линейного программирования*. Алгоритм симплекс-метода. Нахождение исходного допустимого базиса. Метод искусственного базиса.

Понятие о взаимно-двойственных задачах линейного программирования. Основные теоремы двойственности. Двойственность в эконо- мико-математических моделях.

Собственные значения и собственные векторы неотрицательных матриц. Теорема Фробениуса-Перрона*. Число и вектор Фробениуса, их свойства. Продуктивность неотрицательных матриц.

Модель многоотраслевой экономики Леонтьева. Продуктивные модели Леонтьева. Различные критерии продуктивности модели Леонтьева.

ТЕМАТИКА КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Контрольная работа № 1:

•системы линейных алгебраических уравнений;

•векторы на плоскости и в пространстве;

•линейные пространства;

•евклидовы пространства;

•матрицы;

•определители;

•комплексные числа.

Контрольная работа № 2:

•линейные преобразования;

•квадратичные формы;

•прямая на плоскости, прямая и плоскость в пространстве;

•выпуклые многогранные области в аффинном пространстве;

8

•кривые второго порядка;

•экономические приложения линейной алгебры и аналитической геометрии.

СТРУКТУРА ЭКЗАМЕНА

Экзамен проводится в письменной форме в первую сессию. Экзаменационный билет состоит из 8 заданий. Каждое верно вы-

полненное задание оценивается в 10 баллов. На выполнение всех заданий отводится 2 часа.

Методика расчета итоговой оценки

Письменный экзамен (максимум 80 баллов) + работа в семестре (максимум 20 баллов).

80-балльная оценка за письменный экзамен получается суммированием 10балльных оценок за ответ на каждый экзаменационный вопрос (в билете 8 вопросов).

20-балльная оценка за работу в семестре складывается из 10-бальной оценки за первую половину семестра (промежуточная аттестация) и 10бальной оценки за вторую половину семестра.

10-балльная оценка за половину семестра получается преобразованием

100-балльной оценки по следующей таблице:

9

Расчет 100-балльной оценки за каждую половину семестра основывается на: 1) оценках за контрольные работы, 2) ответах у доски, 3) выполнении домашних заданий.

СОДЕРЖАНИЕ ЭКЗАМЕНА

Список типовых заданий для подготовки к экзамену

1.Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

2.Перечислить аксиомы векторного пространства.

3.Доказать неравенство Коши-Буняковского.

4.Доказать неравенство треугольника.

5.Выполнить линейные операции над векторами.

6.Найти длины векторов и углы между ними.

7.Вычислить скалярное произведение векторов.

8.Найти ранг данной системы векторов.

9.Разложить заданный вектор по данному базису общего вида.

10.Разложить заданный вектор по данному ортогональному базису.

11.Доказать однозначность разложения вектора по базису

12.Исследовать систему векторов на линейную зависимость.

13.Построить фундаментальный набор решений системы линейных алгебраических уравнений.

14.Доказать, что любая система ненулевых попарно ортогональных векторов линейно независима.

15.Выяснить, является ли данное подмножество векторов линейного пространства линейным подпространством.

10