матан

ББК 22.3

Введение, методические указания и рекомендации по изучению дисциплины подготовил

профессор Н.Ш. Кремер

Варианты контрольных работ подготовили:

доцент Л.Р. Борисова, к.ф. м.н. Е.М. Воробьева, профессор И.М. Тришин, доцент М.Н. Фридман, доцент А.Ю. Шевелев (г. Москва); ст. преп. Г.Н. Саблина (г. Архангельск); доцент Е.М. Исаенко (г. Владимир); доцент А.В. Качалкина, доцент Н.Л. Рубцова (г. Волгоград); профессор В.С. Поленов (г. Воронеж); доцент И.А. Зенкина (г. Калуга); доцент Г.Б. Заболотских (г. Киров); профессор В.Г. Курбатов (г. Липецк); доцент Л.Д. Казмина (г. Новороссийск); ст. преп. Т.В. Ершова, профессор А.Н. Жаров (г. Ярославль).

Учебно методическое пособие обсуждено на заседании кафедры высшей математики

Зав. кафедрой кандидат экономических наук, профессор Н.Ш. Кремер

Учебно методическое издание одобрено на заседании Научно методического совета ВЗФЭИ

Проректор, председатель НМС, профессор Д.М. Дайитбегов

Математический анализ и линейная алгебра. Учебно методическое посо бие для первого курса студентов всех специальностей, студентов бакалавриата всех направлений и слушателей факультета непрерывного обучения / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ВЗФЭИ, 2010.

В учебно методическом пособии приведен обзор основных понятий и поло жений дисциплины «Математический анализ и линейная алгебра», даны ме тодические рекомендации по ее изучению, выделены типовые задачи, представ лены контрольные вопросы для самопроверки и задачи для самоподготовки по данной дисциплине, приведены варианты контрольных работ для студентов первого курса всех специальностей, студентов бакалавриата всех направлений и слушателей факультета непрерывного обучения, а также методические ука зания по их выполнению.

ББК 22.3

© Всероссийский заочный финансово экономический институт (ВЗФЭИ), 2010

3

Предисловие

Совершенствование деятельности в любой области экономики (управлении, финансово кредитной сфере, маркетинге, учете, ауди те) в значительной мере связано с применением математических методов исследования.

Цель курса математики в системе подготовки экономиста – осво ение необходимого математического аппарата, помогающего анали зировать, моделировать и решать прикладные экономические зада чи, при необходимости с применением ПЭВМ.

Задачи изучения математики как фундаментальной дисциплины состоят в развитии логического и алгоритмического мышления, вы работке умения моделировать реальные экономические процессы, освоении приемов исследования и решения математически форма лизованных задач, овладении основными методами математики.

В соответствии с учебными планами института курс математи ки включает три самостоятельные дисциплины: 1) «Математичес кий анализ и линейная алгебра»; 2) «Теория вероятностей и матема тическая статистика»; 3) «Экономико математические методы и при кладные модели», которые изучаются студентами всех специально стей и направлений бакалавриата.

Кроме того, в цикл естественно научных дисциплин входит дис циплина «Эконометрика», изучаемая студентами большинства эко номических специальностей на третьем курсе.

Дисциплина «Математический анализ и линейная алгебра» яв ляется фундаментом математического образования экономиста.

4

В соответствии с программой для экономических вузов эта дисцип лина включает следующие разделы: «Линейная алгебра и элементы аналитической геометрии на плоскости», «Дифференциальное

иинтегральное исчисление», «Дифференциальные уравнения

иряды».

Дисциплины «Теория вероятностей и математическая статисти ка», «Экономико математические методы и прикладные модели» и «Эконометрика» ориентированы на применение математических методов в прикладных экономических задачах.

По дисциплине «Математический анализ и линейная алгебра» студенты первого курса всех специальностей, студенты бакалавриа та всех направлений и слушатели факультета непрерывного обуче ния сдают курсовой экзамен после выполнения предусмотренных учебным планом контрольных работ № 1 и № 2, задания к которым приводятся в данном пособии.

По дисциплине «Математический анализ и линейная алгебра» рекомендуется следующая литература.

6

Введение

Цель настоящего учебно методического пособия – помочь студен там в организации занятий при изучении общего курса математики.

Студенты дневных групп изучают дисциплину «Математичес кий анализ и линейная алгебра» на первом курсе в течение учебного года, а в конце его (в период летней экзаменационной сессии) сдают экзамен. В начале учебного года (в октябре) студенты вызываются на установочные занятия, в процессе которых им читаются лекции и организуются практические занятия. Обучение проводится по пер вым семи темам (см. с. 12–20 данного пособия). Именно этот мате риал необходим для выполнения контрольной работы № 1.

В зимнюю сессию, на которую дисциплина «Математический анализ и линейная алгебра» не выносится, для студентов дневных групп читаются лекции и проводятся практические занятия по ос тальной части курса. Во втором семестре студенты выполняют конт рольную работу № 2. Часть практических занятий может прохо дить в течение всего учебного года в межсессионный период, по суб ботним и воскресным дням (по расписанию).

Студенты вечерних групп изучают дисциплину «Математичес кий анализ и линейная алгебра» на первом курсе в течение всего учебного года (в период экзаменационных сессий аудиторные заня тия не проводятся). За это время они выполняют две контрольные работы (№ 1 – в первом семестре, № 2 – во втором семестре).

Контрольные работы для студентов как дневных, так и вечерних групп выполняются по вариантам из данной брошюры с последую

7

щим собеседованием по каждой работе. При этом в соответствии с учебным планом контрольные работы (одна или две) по отдель ным (или всем) специальностям и направлениям подготовки могут предусматривать частичное использование компьютерной обучаю щей программы (КОПР) (подробнее об этом см. методическое посо бие [5]).

Вучебных планах отдельных (или всех) специальностей и на правлений подготовки по данной дисциплине может предусматри ваться компьютерное тестирование (подробнее об этом см. методи ческое пособие [4]).

Изучение дисциплины завершается курсовым экзаменом, кото рый проводится в летнюю экзаменационную сессию.

Для освоения данной дисциплины, как отмечено выше, в вузе проводятся лекционные и практические занятия. В то же время ос новной формой обучения в условиях заочного вуза является само стоятельная работа студента с учебниками и учебными пособиями. Дополнительно для самостоятельного изучения дисциплины реко мендуется компьютерная обучающая программа КОПР1 по дисцип лине «Математический анализ и линейная алгебра», обзорная лек ция и электронная учебно методическая литература (интернет ре сурсы), размещенные на сайте института.

Впомощь студентам в институте и его филиалах функциониру ют учебно методические кабинеты, в которых студент может ознако миться с образцами контрольных работ и авторскими текстами лек ций, осуществить выход в Интернет, поработать с интернет ресурса ми института, компьютерными обучающими программами и элект ронными версиями учебно методической литературы, пройти тес тирование в режиме самоконтроля.

Каждый студент должен выработать для себя рациональную систему работы над курсом и постоянно практиковаться в решении задач. В противном случае усвоение и практическое использование учебного материала затруднены. Чрезвычайно важны систематичес кие занятия. Работа урывками не приносит положительных резуль татов.

Студент обязан вести конспект (рабочую тетрадь). Рекомендует ся конспектировать определения, формулировки теорем, схемы их доказательств, формулы и решения задач. Формулы следует выпи сывать в специальные таблицы для каждой части курса: линейной

8

алгебры, аналитической геометрии на плоскости, введения в анализ, дифференциального исчисления, интегрального исчисления, рядов. Постоянное пользование конспектами, в частности таблицами фор мул, способствует их запоминанию и дает возможность решать при меры и задачи, не обращаясь к учебным пособиям.

Часто приходится слышать высказывания студентов о том, что теорию они знают, а решать задачи не умеют. Это свидетельствует о неглубоком усвоении учебного материала. Нужно решать как мож но больше задач. Начинать следует с наиболее простых, элементар ных, а затем переходить к более сложным. По такому принципу и расположены задачи в рекомендуемых учебных пособиях. Решение следует доводить до окончательного результата, а промежуточные преобразования выполнять последовательно и аккуратно. Если за дача связана с отысканием численного результата, то подстановку числовых значений вместо букв лучше производить только в оконча тельно упрощенное выражение.

Если материал учебника, учебного или методического пособия, КОПР не дает ответа на возникший вопрос, то следует обратиться за консультацией (письменной (по электронной почте, факсу, на форум кафедры и пр.) или устной) на кафедру высшей математики. Для получения письменной консультации необходимо указать, ка ким учебником (пособием, КОПР) вы пользовались (автор, наиме нование, год издания) и какое конкретное место в учебнике вам не понятно. Если появились затруднения в решении задачи, укажи те, каким способом вы пытались ее решить. Лишь в этом случае пре подаватель сможет оказать вам помощь.

При решении различных задач нередко приходится вычислять приближенно значения функции (в частности, используя ее разло жение в ряд), определенного интеграла (например, по формуле тра пеций) и др. Незнание правил приближенных вычислений часто приводит к тому, что их результаты оказываются не только неточ ными, но и ошибочными, настолько они далеки от истинных (точ ных) значений. При этом многие стремятся удержать как можно больше цифр в окончательном ответе, показать, какой «высокой» степени точности они добились. Точность такого ответа, как прави ло, оказывается ложной, так как определенное число последних цифр просто ошибочно. Чтобы этого не случилось, необходимо знать и применять правила приближенных вычислений. Ими надле

9

жит пользоваться при выполнении арифметических операций с приближенными числами и для получения приближенного ре зультата.

Основные правила приближенных вычислений

Обозначим через х точное (истинное) значение некоторой вели чины (точное число), а через а – ее приближенное значение (при ближенное число).

Число = | х – а | называется истинной абсолютной погрешнос3 тью приближенного числа а.

Обычно истинная абсолютная погрешность числа a неизвест на, так как не дано точное значение х, а известна так называемая предельная абсолютная погрешность. Число α называется предель3 ной абсолютной погрешностью приближенного числа а, если

| x – a | ≤ α.

Относительной погрешностью δ приближенного числа а называ ется отношение его абсолютной погрешности к абсолютной величи не точного числа x:

. x

Если точное значение числа х неизвестно, а мала по сравне нию с | а |, то можно считать, что

. a

Относительную погрешность часто выражают в процентах, то

есть 100 (%). a

Цифра данного разряда приближенного числа а называется вер3 ной, если абсолютная погрешность = | х – а | этого числа не превос ходит пяти единиц следующего справа разряда. В противном случае эта цифра называется неверной.

У всякого десятичного числа а ≠ 0 существует первая слева циф ра, отличная от нуля. Эта цифра называется первой значащей циф3 рой числа а. Все цифры, начиная с первой значащей и правее, явля ются значащими цифрами числа а. Говорят, что приближенное число

10

аимеет п верных значащих цифр, если п3я и предшествующие ей значащие цифры верные, а (n + 1) я цифра – неверная.

Ввычислительной практике также употребляют термин «число верных десятичных знаков». Под ним понимают число верных цифр в десятичной дроби после нулей, указывающих разряды. Цифры приближенного числа, не являющиеся верными, отбрасывают,

ачисло округляют.

Правило округления. Если первая из отбрасываемых цифр, считая слева направо, меньше пяти, то последнюю оставшуюся циф ру не меняют; если больше или равна пяти, то последнюю оставшу юся цифру надо увеличить на единицу.

Если отбрасывается т о л ь к о цифра «5», а предшествующая ей цифра четная, то последнюю оставшуюся цифру менять не следует. Если предшествующая цифра нечетная, то последнюю оставшуюся цифру надо увеличить на единицу (правило четных знаков).

Пример. π = 3,1415926... Округляя число до трех значащих цифр, получим π ≈ 3,14 (так как 1 < 5). Округляя его до четырех значащих цифр, получим π ≈ 3,142 (5 ≥ 5), а округляя его до пяти значащих цифр, получим π ≈ 3,1416 (так как 9 ≥ 5). В то же время число x = 0,6525 ≈ 0,652 (по правилу четных знаков, так как отбрасы вается только цифра «5»).

Окончательные результаты вычислений обычно округляют на последней верной цифре, а в промежуточных результатах удержи вают одну запасную цифру, которая может оказаться и неверной.

При этом пользуются следующими правилами определения вер ных цифр результата.

1.При сложении (вычитании) приближенных чисел в сумме сле дует сохранить столько десятичных знаков, сколько их имеет слага емое с наименьшим числом десятичных знаков.

2.При умножении приближенных чисел в произведении следует оставить столько значащих цифр, сколько их имеет сомножитель

снаименьшим числом верных значащих цифр.

3.При возведении в степень и извлечении корня число верных зна чащих цифр результата равно числу верных значащих цифр основа ния степени.